類体論 ―― 『代数的整数論』（河田敬義）の補足２

今回は５・１・２節（ｐ７２）です。

まず、次の命題を考えてみます。（原文ではa，AがそれぞれA，太字のAとなっています。すなわちａ→Ａ，Ａ→太字のＡです）

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ｎ：正整数

Ｅ：１のｎ乗根の集合

ｋ：標数０の体で、Ｅの元をすべて含むもの（すなわちＥ⊂ｋ）

Ｋ／ｋ：（有限次とは限らない）ガロア拡大

Ｇ：Ｋ／ｋのガロア群。Ｇはアーベル群で、任意の元σ（∈Ｇ）がσ＾ｎ＝１を満たす

Ａ：　Ｋ×の部分群で、

①　Ａ＝｛a∈Ｋ×｜a＾ｎ∈ｋ×｝

さらにa∈A，σ∈Ｇに対し、写像 χa を

②　χa（σ）＝a／（σa）

によって定義します。

このとき、χa（στ）＝χa（σ）・χa（τ）

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③　χa（σ）＾ｎ＝a＾ｎ／（σa）＾ｎ＝a＾ｎ／σ（a＾ｎ）

ここで、①より

a＾ｎ∈ｋ×

なので、σ（a＾ｎ）＝a＾ｎ，すなわち

a＾ｎ／σ（a＾ｎ）＝a＾ｎ／a＾ｎ＝１

よってχa（σ）＾ｎ＝１，すなわち

④　χa（σ）∈E　（a∈A，σ∈G）

となります。

χa（στ）＝a／（στ）a＝a／σa・σa／（στ）a

ここでＥ⊂ｋ，χτ（a）∈Eであり、またσはｋの元を動かさないので、

σa／（στ）a＝σ（a／τa）＝σ（χτ（a））＝χτ（a）

よって

χ（στ）（a）＝χσ（a）・χτ（a）　（a∈A）

となり、χa（στ）＝χa（σ）・χa（τ）が示されました。

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また、すべてのσ∈Ｇに対してχa（σ）＝１となるならば

a／σa＝１

すなわち

a＝σa　（∀σ∈G）

なので、ガロア理論の対応により

a∈ｋ

であることも言えます。

さらにa＾ｎ∈ｋ×の条件からa≠０なので、

a∈ｋ×

であることが示されました。

次回も５・１・２節の続きです。

（つづく）