単位を計算すると、方程式の間違い探しができる

はじめに

方程式の問題、好きですか？苦手ですか？

方程式の問題って、間違えずにたてることができれば、8割がた正解をあげていいと思っています。

たてることさえできれば、あとはコンピュータに解いてもらってもいいですしね。実際、手計算で解けない方程式もあり、その場合はコンピュータで計算します。

たてた方程式が間違っているか合っているか確かめる方法に、単位を計算してみるというのがあります。

方程式は、右辺と左辺が等しい、すなわちイコールで結ばれているため、単位も右辺と左辺で等しくならなければなりません。

なので、両辺の単位を計算して、単位が違っているとおかしいということになります。

このエントリでは、単位を計算して、方程式が間違っていないか確かめることを考えてみます。

かえってこんがらがっていやだ、となってしまう方もいるかと思いますが、無理して覚える必要もないかもしれません。ただ、物理などをやっている理系の方は理解する必要があると思います。

ルール

単位の計算ルールは以下の2つです。

１．掛け算、割り算はそのまま計算して、新しい単位となる。（例：m ÷ 秒 = m/秒、m × m = m^2（平方メートル）など）
（m^2は、mの2乗を意味します。上付き文字が使えないのでこのような表記にします。）

２．足し算、引き算は、同じ単位同士でないと足す引くできない。足し算引き算で単位は変わらない。

では実際にやってみましょう。

実例1

問題：

・花子さんが家をでて毎分80mで歩いていった。その8分後に母が毎分120mで花子さんを追いかけた。母が花子さんに追いつくのは花子さんが家を出てから何分後か。

この問題は、花子さんが家を出てから何分たったかをxと置きます。単位は分です。連立方程式を知っていれば、母が家から出て経過した時間をｙ（分）として方程式をたてるのが楽かと思います。

たてる方程式は、

80x = 120（x - 8）
ですね。
では、単位を計算してみましょう。

ポイントは、右辺のかっこの中、分 - 分は、単位としては、分であること。0にはなりません。単位を計算してみると両辺ｍです。合っている可能性は高いです。残念ながら、右辺の120（x-8）を120（8 - x）としてしまうと、その間違いは見抜けません。

では、完全に間違って、
80x = 120x - 8
としてしまったらどうでしょう？

となり、右辺のm - 分は、単位が違うのに引き算はできないので、計算できず、右辺と左辺の単位が一緒になりません。
これは、間違っているということになります。

実例2

問題：

・鉛筆4本と、消しゴムを1個買ったら代金の合計は480円でした。消しゴム1個の値段は120円です。鉛筆1本の値段を求めよ。

これは、鉛筆一本の値段をxとすればいいですよね。ここで、xの単位は、円、ではなく一本当たりの値段なので円/本です。
方程式をたてると、
4x + 120 = 480
ですね。
これを単位計算してみましょう。単位はそろうでしょうか？ポイントは、左辺の120円をどう考えるかです。

左辺の120円のところは、消しゴム一個当たりなので120 円/個であり、消しゴムを1個買ったので、1個 × 120円/個とするのです。そうすれば結局単位は右辺左辺とも円となって、右辺左辺の単位が一致します。

終わりに

本当は、何個とか何本って、単位はないんですけれど、このように単位として考えれば、方程式の間違い探しに使えます。

これは、運動方程式などをたてるときにも使えるテクニックで、次元解析と呼ばれるものです。

位置の時間微分、dx/dtは、m/sで、速度になりますよ。

頭の体操にどうぞ。

最後までお読みいただきありがとうございました。