[論文アイデア]δ関数による整数論

このアイデアは、オープンサイエンスの一環として公開するものです。
公開することで、多くの方々よりコメントやアドバイスを頂ければ
物理学の発展に寄与できるものと思います。

ディラック・デルタ関数による整数論とは
「整数a を数直線 x上のデルタ関数δ(x-a)と同一視する」
ことにより、整数論を超関数論で記述し直す
というものです。
ディラック・デルタ関数は、量子力学の論文での1926年発表なので
整数の分布(離散)をデルタ超関数の和（微分可能。フーリエ変換をもつ）
として見る　というのは
リーマン、オイラーでも 知らない視点
です。そうすれば、何か新しいことが、言えるかも知れない
ということです。

[整数をデルタ関数と同一視できる証明]

１つの整数 ｎの数直線 x上での存在確率密度P_nは、
ｎを含む十分狭い範囲での存在確率＝∫P_n dx＝１
ｎを含まない範囲では、どんなに範囲が広くでも存在確率＝０
したがって、P_n=δ(x-ｎ)です。
また、これより整数ｎとδ(x-ｎ)は、全単射です（自明）

[整数ｎとｍのデルタ関数での関係]

XK-KX＝i として、作用素XとKを導入し、
作用素Xの固有ベクトルを|x>、固有値（実数）を x1 と表し
x1の存在確率密度は、内積<x1 | x>　で表されるとします
（これは量子力学での公理ですが、ここでも公理とします）
そうすると、数x1 の確率密度P_x1＝δ(x-x1) は
<x1 | x>　と表されます
また、|x - x1>＝exp(i K x1) |x>
(証明はhttps://kafukanoochan.hatenablog.com/entry/2019/04/03/135306 
なので、整数ｍに a を足すことは、
|x -m -a>＝exp(i K a) |x-m>
δ(x - (m+a) )＝exp(i K a)δ(x - m)
つまり、「ｍのデルタ関数に exp(i K a)を掛ける」
ことになります。
また、整数ｍに a を掛けることは、
δ(x - a・m )＝exp(i K a・m)δ(x - 0)
＝exp(i K (a-1)m) δ(x - ｍ)
つまり「m のデルタ関数に exp(i K (a-1)m)を掛ける」
ことになります。

、（続きは後日）