青チャート数IAを解く（数A第1章）

数Iが終わったので、総合演習（数I）を解き始める。たが、ケアレ・スミスさんにいたぶられ、なかなか正解にたどり着かない。ここは気を静め、数Iの復習フェーズと、数A第1章のフェーズと分けて取り掛かることにした。
それがまた地獄の入り口であった。。

当時、高校生だった私は、完全に確率・統計分野を捨てていたので、$${{}_n P_r}$$や$${{}_n C_r}$$なんてものは、階乗がいっぱい並んでる記号としか見ていなかったのだ。説明を読めばわかる、うん、当たり前ではないか。じゃ問題をやってみると・・・悩む。これが場合の数、確率のあるあるだった。

テレビなどで、賢い若者が問題を解答するときに、$${{}_n C_r}$$をすらすら書いて、答えを出している様子を見ると、すげぇかっこええと憧れすら持つ。それぐらい苦手。

さて、数学には４色問題という超有名な問題があるが、それを彷彿とさせる例題があった。P.316 例題16 だ。赤・青・黄・白を６つの区画に隣と異なるように色分けした場合に何通りあるかという問題だが、これの解説がまぁ難しい。知っていれば解けるだろうが、果たして初見の場合にこの思考に至るのか？無理だな。

さらに混乱したのは、４色全部を使って塗分ける、４色以内で塗分ける、３色で塗分けるの意味合いである。ははぁん、４色以内で塗分けるのは、４色全部を使って塗分けるのと３色で塗分けるのを足せばいいんだろう、と高を括っていた自分はおやじであるが若かった。

４色以内とは、４色で塗分ける場合の数と、４色あるうちの３色を使って塗分ける場合の数(3色を使って塗分ける場合の数の $${{}_4 P_3 = 4 \cdot 3 \cdot 2 = 24}$$ 倍)の和となる。これに気づくのに大分時間を要した。

ともかく、場合の数の問題は、同じ問題の類ではそんなに悩まないのだが、ちょっとした条件が追加されただけで、どう考えればいいか迷子になってしまい、解説を読んでもまたトリッキーな考え方が書かれており、汎用性を感じないのである。やはり再学習した後であっても、苦手である。

ただ、一発で理解した解法もある。整数の約数の数と総数の計算はとても明快で解いていてすっきりする。P321 Ex7を見てみよう。

1050の正の約数の個数と、1と1050を除く約数の総和を求める。

$$
\begin{align*}
1050 &= 2 \cdot 3 \cdot 5^2 \cdot7 \\
個数 &= 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 2 = 24 \\
総数 &= ( 2^0 + 2^1 )( 3^0 + 3^1 )(5^0 + 5^1 + 5^2)(7^0 + 7^1) -1051 = 1925
\end{align*}
$$

これは楽しい。素因数分解した後、素数の指数の数の積が個数になるし、総数は、素数の指数を0からの増やしていった和をすべてかけ合わせれば、分配法則より求まる。知っていたら一発でできるやつ。

さて、数A第1章はまだ途中である。教科書は何度も読んでいるので、知識的にはわかるのだが、応用には程遠い。これからまた至難が続くのである。