円周率の求め方（３つの方法）

息子が自由研究で円周率について調べているらしい。

せっかくなのでただ暗記するだけではなく、円周率の「求め方」についても教えてやろうか、と思い立ち、3つの方法について、自分でも説明できるように再確認してみた。

円をドット絵のように四角形に変換して求める

円の面積を求める公式は

πr2（パイアール二乗）

なので、r=10として、上の図の薄いグレーの面積より大きく、薄いグレー＋濃いグレーの面積より小さい、という形で、近似値的に円周率を求めることができる。

これはr=10なので精度がだいぶ荒いが、この方眼を細かくすればするほどどんどん精度は上がり、3.14に近づいていく。

例えば半径50で同じように円周率を求めるとと3.0544 < π< 3.1952 となる。

円に内接・外接する正六角形の分割を繰り返し、三角形の集合体と見なし計算を行う

イメージとしては以下のような感じです。

モンテカルロ法

一辺2rの正方形の中にぴったり入る半径rの円を描くと、下記の式が成り立ちます。

円の中に入った点の数 / 打った点の総数 = πr2 / (2r)2 = π / 4

この公式を使って、2rの正方形の中の任意の場所に点を打っていくと、近似値的に円周率を求めることができます。それがモンテカルロ法です。

下記でシミュレーションできるので、やってみてください。

モンテカルロ法で円周率を求めてみよう！

大体、打つ点の数が8万くらいになると、3.14になるようでした。

よくよく考えると、これって一つ目の方法に近いですよね。

打つ点の数の増えると、全体をドットで埋めるのと同じような状態になるので。

ちなみにこの「モンテカルロ法」はエンジニア・SEの定番資格、応用情報技術者の試験でも度々出題されているようです。

令和2年秋期試験午前問題　問6

息子に説明してあげた結果

せっかく興味を持ったのに、単に3.1415....と暗記するだけなのはつまらないんじゃないかな、と思い、求め方を教えてあげたのだが、

「いや、暗記するのが楽しいんだよ」

ということであった。

求め方も、ちょっと小5には難しかったようだけど、頑張って理解しようとしていたし、モンテカルロ法という言葉は覚えたようなので、今の段階では良しとしよう。

「3.14は自分で求められる」ということがわかることが大事。

今回の参考文献はこちらです。

数学ガールの秘密ノート/丸い三角関数 (数学ガールの秘密ノートシリーズ)

この数学ガールの秘密ノートのシリーズは非常にやさしく解説されているのでありがたいです。