4)三平方の定理の証明

このテキスト文中の前提は以下　a×a⇒a^2、a×b⇒ab　でお願いします。

直角三角形の三平方の定理は　a^2​+b^2=c^2です。

証明方法を２つ。図の左側は最初に先生が教えてくれる証明方法です。右側は二次方程式を学んだ後に説明される方法です。

まず左側では「三角形の面積を求める公式の底辺と高さが同じならどんな三角形も面積は同じ」と「三角形の合同と相似の公式」を絡めた証明方法です。ポイントは「合同の公式」で「三角形の２辺とそれを挟む角度が同じなら双方の三角形は全く同じ三角形になる」というモノです。図中の「考える順番」の2と3の所で使用しています。他は「最初の底辺と高さが同じなら双方の面積は同じ」という公式を使用しています。まず、最初に黒破線の補助線を引きます。図は最初のステップのみ書いています。図中の式でc^2部分の黒破線の右側の面積とa^2部分の面積が等しい事を示しています。後は同じ要領でc^2部分の黒破線左側の面積とb^2の面積が等しい事が証明され、これで三平方の定理の証明になります。

次に右側では、2次方程式を勉強した段階で理解できるレベルです。中学生諸氏にわかる様に書きます。しかし高校時点で再度この右側の証明方法を遡って教えてくれる先生はいませんでいた。

右側の様に一辺の長さがa+bの正方形を考えます。この面積は(a+b)^2で求められます。(a+b)^2=a^2+2ab+b^2

真ん中の正方形の面積は、上の辺a+bの正方形の面積から4つの三角形の面積を引いた面積です。4つの三角形の面積は、(ab 1/2)×4=2abです。

外側のでかい正方形から4つの三角形の面積の合計をを引いた面積が中の正方形の面積です。中の正方形の面積=a^2+2ab+b^2-2ab。2abがプラス・マイナスされていますので0になります。中の正方形の面積=a^2+b^2⇒c^2

こっちの方が簡単ですね。