RS符号の復号2

上のnoteの続き

2の場合

すわなち$${g(x)=(x−\alpha^l)(x−\alpha^{l+1})⋯(x−\alpha^{l+2t-1})}$$の場合

(1)誤り位置の導出

シンドローム

$$
S_j = e(\alpha^j) = \sum_{k=1}^s e_{i_k}(\alpha^j)^{i_k}, (j=l, …,l+2t-1) \\
S(z) = \sum_{j=l}^{l+2t-1} S_jz^{j-l} = \sum_{j=l}^{l+2t-1}\sum_{k=1}^s e_{i_k}(\alpha^j)^{i_k}z^{j-l} = \sum_{k=1}^s \sum_{j=l}^{l+2t-1} e_{i_k}(\alpha^j)^{i_k}z^{j-l}
$$

ここで、

$$
\sum_{j=l}^{l+2t-1} e_{i_k}(\alpha^j)^{i_k} z^{j-l}
\equiv
\dfrac{e_{i_k}(\alpha^{i_k})^l}{1 - \alpha^{i_k}z}, (mod z^{2t})
$$

であるから、

$$
S(z) \equiv
\sum_{k=1}^{s}\dfrac{e_{i_k}(\alpha^{i_k})^l}{1 - \alpha^{i_k}z}, (mod z^{2t})
$$

同様にして

$$
\eta(z) = \sigma(z)S(z) + \phi(z)z^{2t}
$$

を得る。ただし、

$$
\eta(z) = 
(1 - \alpha^{i_2}z)(1 - \alpha^{i_3}z) \cdots (1 - \alpha^{i_s}z)e_{i_1}(\alpha^{i_1})^l \\
(1 - \alpha^{i_1}z)(1 - \alpha^{i_3}z) \cdots (1 - \alpha^{i_s}z)e_{i_2}(\alpha^{i_2})^l \\
(1 - \alpha^{i_1}z)(1 - \alpha^{i_2}z) \cdots (1 - \alpha^{i_s}z)e_{i_3}(\alpha^{i_3})^l // i_3の項なし\\
\cdots \\
 (1 - \alpha^{i_1}z)(1 - \alpha^{i_2}z) \cdots (1 - \alpha^{i_{s-1}}z)e_{i_s}(\alpha^{i_s})^l , (mod z^{2t}) \\
$$

(2)誤り数値の導出

誤り位置多項式の根を$${\eta(z)}$$に代入すると、$${(1 - \alpha^{i_k})}$$を因数に持たない和項だけ残るから

$$
\eta(\alpha^{-i_k}) =
(1 - \alpha^{i_1}\alpha^{-i_k})
\cdots
(1 - \alpha^{i_{k-1}}\alpha^{-i_k})
\cdots
(1 - \alpha^{i_{k+1}}\alpha^{-i_k})
\cdots
(1 - \alpha^{i_{s}}\alpha^{-i_k})
e_{i_k}(\alpha^{i_k})^l
$$

となる。一方、誤り位置多項式を$${z}$$で微分すると

$$
\sigma'(z) = - \alpha^{i_1}(1 - \alpha^{i_2}z)\cdots(1 - \alpha^{i_s}z) \\
- \alpha^{i_2}(1 - \alpha^{i_1}z)\cdots(1 - \alpha^{i_s}z) \\
\vdots \\
- \alpha^{i_s}(1 - \alpha^{i_1}z)\cdots(1 - \alpha^{i_{s-1}}z) \\
$$

これに誤り位置多項式の根を代入すると、$${(1 - \alpha^{i_k})}$$を因数に持たない和項だけ残るから

$$
\sigma'(\alpha^{-i_k}) = - \alpha^{i_k}(1 - \alpha^{i_1}\alpha^{-i_k})
\cdots
(1 - \alpha^{i_{k-1}}\alpha^{-i_k})
(1 - \alpha^{i_{k+1}}\alpha^{-i_k})
\cdots
(1 - \alpha^{i_s}\alpha^{-i_k})
$$

したがって、

$$
e_{i_k} = - \dfrac{\eta(\alpha^{-i_k})}{(\alpha^{i_k})^{l-1} \sigma'(\alpha^{-i_k})}
$$