高校数学　順列や組合せを学びながら英語も学んでみる

高校数学Aで順列や組合せを学びます。オーストラリアでも州によってカリキュラムが違いますが、一般的には高校生の数学の選択授業で順列や組合せを学びます。日本でもオーストラリアでも中学校で簡単な順列や組合せを学び、高校でさらに発展した問題を学びます。

今日は、高校数学の簡単な順列を学びながら、一緒に英語の勉強もしてみたいと思います。順列組合せは日常生活の中でも応用できることなので、日本語だけでなく英語でも考えながら勉強すれば大学受験対策だけでなく、一般の人にとっても楽しく学べると思います。

では、問題です。

7つのアルファベット　D,E,N,M,A,R,K があります。これらのアルファベットを並び替えてできる順列は何通りありますか。

これらの中で、AとDが隣り合わせになる並べ方は何通りありますか。

まず、順列と組合せってなんか意味が混乱しそうなので、簡単に説明しますと。

順列は並び方も考慮に入れたもので、組合せは並び方は気にしない。つまり、A,B,Cの3つのアルファベットであれば、順列は並び方も考慮に入れるので、ABC ACB BAC BCA CAB CBAの6通りになり、組合せは並び順を気にしないので1通りということになります。

英語で簡単に説明するなら、

for permutation the order of the members is taken into consideration but for combination orders of members does not matter.　こんな感じでいいと思います。

また、上記の問題もアルファベットの問題だとピンと来ないかもしれませんが、日常生活に関わるような例えで説明するとわかりやすくなります。

例えば、赤と青とピンクと黄色と緑の5色の商品があります。この5色の並べ方は何通りありますか？また、赤とピンクは色が似ているので隣同士にしないような並べ方は何通りあるでしょうか？

まず、最初の問題
7つのアルファベット　D,E,N,M,A,R,K があります。これらのアルファベットを並び替えてできる順列は何通りありますか。
は中学校で学ぶ問題です。

7つのアルファベットの並べ方は７！（７の階乗）で求められます。
7! は　7×6×5×4×3×2×1　です。5040通りになります。
ですので、答えは5040通りになります。

問題と解き方を英語で表現したらどのようになるでしょうか？

順列はpermutation で、何通りありますか？はつまり、計算しなさいという意味ですので、この問題を英語に訳す場合は
Calculate the number of permutations of the letters in the word DENMARK.
でいいかと思います。

英語に訳す場合、生徒に教える時にも生徒はやはり前置詞やaやtheなどの冠詞の使い方が難しいと感じる生徒が多いわけです。

この問題の場合は、in the word DENMARK なども、まず、デンマークという言葉、the word DENMARK と最初に考えて、で、次に、デンマークという言葉では（中では）なので、in を加えればいい。という発想です。

また、余談ですが、in the word ではなく、in A word ですと、一言でいうと、という意味になります。似たような表現で、To put it simply があります。

次に解説の英訳です。

並べ方は、アレンジされる（配列される）にしてみました。

The 7 letters may be arranged 7! 7!=5040ways

これも、これから英語を学ぶ人たちには難しいかもしれませんが、the letters is arranged 7!でもいいような気がします。でも、is arranged にすると、なんか断定ぽくなってしまうような気がします。問題を解く段階では、may beにした方がいいと思います。may be は、かもしれない。が一般的ですが、数学や理科分野で、配列が絡むとmay beが多いですね。

7!（7の階乗）は英語で　seven factorial と言います。

最後に答えをしっかりと書くと

There are 5040 permutations of letters in the word DENMARK.

となります。

次の問題です。
これらの中で、AとDが隣り合わせになる並べ方は何通りありますか。
このあたりが、高校数学の初歩的な問題になります。

問題文を英語に訳すと
In how many of these do the letters C and N appear side by side?

in how many はよく、何分後や何日後　in how many minutes will you go out? (何分後に外出しますか)で使いますが、これもdenmarkという単語の中でというニュアンスを含んでいるので、in how many にした方がいいと思います。隣同士は、side by side でいいと思います。

解き方としては

まず、AとDを一緒にして、それで一つの組と考えます。そして、AとDの並べ方はADとDAの2通りになります。

AとDを一緒にする。英語にした場合、例えば、A and D are tied together にして、その上で、それを一つの組として考えます。は they are therefore considered as 1 unit. 一組は1 unitで数学ではunitという言葉は非常によく使います。また、thereforeを入れることによって数学らしさを出します。最後のAとDの並べ方は2通りになる。は、Determine the number of ways A and D may be arranged: AD and DA.この中のdetermineは数学ではとてもよく使う表現で、求めることができる。のような表現になります。

6つにしたアルファベットの並べ方は6!で720通りです。ただし、これはADを一つの組として、それに、E,N,M,R,Kの5つを足して6つにしました。ですので、順列の並べ方は2×6!で1440通りになります。

6つの順列の並べ方は、先ほど書いたように、6 things may be arranged 6!. 6!=720 ways.となり、ただしこれはAＤを一つの組として、それにE,N,M,R,Kの5つを足して6つにしました。は、英語に訳すと、Note: There are now 6 letters: the AD unit along with E, N, M, R and K. この中のalong with ですが、（人と）一緒に　という意味が多くの人が知っていますが、along with 物で、～に加えてという意味があるので覚えておいてください。along with = plus プラスと同じ意味になります。順列の並べ方は、2×6!で1440通りになります。は、普通に、The number of permutations is 2×6!=1440

となります。

最後に答えは、AとDを隣り合わせた並べ方は全部で1440通りになります。

英語で表現したら、今まで訳したように以下の通りにします。
There are 1440 permutations in which the letters A and D appear together.となります。Appear together で一緒にという意味を強調しておきます。

では、日本語と英語の両方の問題文と説き方をまとめます。

問題１）7つのアルファベット　D,E,N,M,A,R,K があります。これらのアルファベットを並び替えてできる順列は何通りありますか。

7つのアルファベットの並べ方は７！（７の階乗）で求められます。
ですので、答えは5040通りになります。

問題２）これらの中で、AとDが隣り合わせになる並べ方は何通りありますか。

まず、AとDを一緒にして、それで一つの組と考えます。そして、AとDの並べ方はADとDAの2通りになります。
6つにしたアルファベットの並べ方は6!で720通りです。ただし、これはADを一つの組として、それに、E,N,M,R,Kの5つを足して6つにしました。ですので、順列の並べ方は2×6!で1440通りになります。
AとDを隣り合わせた並べ方は全部で1440通りになります。

英語ではこのようになります。

Calculate the number of permutations of the letters in the word DENMARK.

The 7 letters may be arranged 7! 7!=5040ways
There are 5040 permutations of letters in the word DENMARK.

In how many of these do the letters C and N appear side by side?

A and D are tied together and are therefore considered as 1 unit. Determine the number of ways A and D may be arranged: AD and DA.
6 things may be arranged 6!. 6!=720 ways. Note: There are now 6 letters: the AD unit along with E, N, M, R and K. The number of permutations is 2×6!=1440.
There are 1440 permutations in which the letters A and D appear together.

先ほども述べましたが、英訳は前置詞や冠詞の意味、また、助動詞や時制をしっかりと理解していないと、まとまった文にしようとした時に躓いてしまいます。

意味は十分に通用しても、やはりしっかりと細かなニュアンスまで表現できる文章を書けるように心がけることは大切なことだと思います。