2021東京大学入試（前期）　理系数学　第一問

【回答方針】

(1)

1.放物線Cと放物線y=-x^2が二つの共有点を持つ⇔xに関する2次方程式：2x^2+ax+b=0が2つの実数解を持つ

2.1で導いた2次方程式の実数解が-1<x<0、0<x<1にそれぞれ存在する⇔2次方程式を放物線としてxy平面に図示した時の関数をg(x)=2x^2+ax+bとした時、g(x)は下に凸な2次関数なので、g(-1)>0かつg(0)<0かつg(1)>0となる

の2つの条件を満たすa,bの条件をab平面に図示する

※境界を示す問題では、境界を含む、含まない、一部の境界だけ含む場合はその境界を明示することを忘れないこと

(2)

a,bが(1)で求めた領域を動く時に放物線Cがとる範囲を求めよ、と言われて、a,bを何パターンか具体的に数値を入れて領域を図示し、答えを予想しても解答にたどり着かない

3.放物線Cはa,bの関数だと考えると、bは傾きが-xとなるaの一次関数となる

4.a,bが(1)で求めた領域を動く⇔3の一次関数は、この領域と交点を持つ

と考えて、4の条件を満たすx,yの条件を求める

ただし、(1)で求めた領域を囲む直線の傾きがそれぞれ-1,1なので、傾きの絶対値がそれより大きくなるか、それ以下かで場合分けが必要となる点に注意する

☆この問題で出てくる、「ある関数を"関数内に含まれる別の変数についての関数"と見る」、という考え方は大学受験数学で頻繁に出てくる考え方なので覚えておきたい