位相と論理と私4：束，分配束（pp.6-7）

前回までで，半束のこと，冪等積と順序の一意性についてやりました．今回は束と分配束をやります．これで束論の速習的なことが完了します．

束

順序集合がすべての有限joinと有限meetをもつなら，束であるといいます．

第2回で示したように，join半束として完備ならmeet半束としても完備，逆もまた然り，なので，どちらかが完備なら束であるわけですね．

有限join，有限meetがあればよいので，束の条件は半束が完備より少し弱いです．

順序集合が束であるかどうかを調べるには，すべての有限joinと有限meetの存在を確かめないといけないですが，それってどうやるの？って感じです．join半束とmeet半束の構造をすでに同時に持っている場合については，便利な命題が本に記載されています．

命題1.13　$${(A,\lor, 0), (A, \land, 1)}$$を半束とする．$${(A, \lor, \land, 0, 1)}$$が束であることと，以下の吸収律が成り立つことは同値である：

$$
a\land(a\lor b)=a,\quad a\lor(a\land b)=a.
$$

join半束とmeet半束の構造を持っていて，それらが整合的に組み合わさって束になるには吸収律があればよいのですね．吸収律をじっと見ると，これは成り立っていてほしい性質ですが，これが成り立つだけでjoinとmeetが仲良く共存できるようになるなんて，みんががハッピーで平和な世界です．

証明　joinとmeetによって順序を一意的に入れられるということを前回まででやりました（ちゃんと示せてないけど）．なので，joinによって入る順序，meetによって入る順序が一致していれば，整合するので束であると言えますね．順序の一致を示しましょう．

joinによる順序：$${a\le b\iff a\lor b=b}$$
meetによる順序：$${a\le b\iff a\land b=a}$$（こちらは今まで説明していませんでしたが，joinの場合から類推してこうなることは納得しやすいと思います．）

joinによる順序からmeetによる順序が導けることを示します．
・$${a\le b}$$，すなわち$${a\lor b=b}$$とする（①）．
・$${a\land b=a}$$を示したい（②）．
・$${a\land b=a\land(a\lor b)}$$（$${b}$$の部分を①を使って変形）
・$${=a}$$（吸収律より）．
・②を示せた．

ポイントは①のjoinによる順序の変形と，吸収律です．meetの順序からjoinの順序を導くのも同様にできることがわかります．これで証明終了．

分配束

束においては$${a\land(b\lor c)\ge(a\land b)\lor(a\land c)}$$（③）が成り立ちます．

実際，

$$
\{a\land(b\lor c)\}\land(a\land b)\\
=(a\land a)\land\{b\land(b\lor c)\}\quad\mathrm{（meetの可換性より）}\\
=a\land b\quad\mathrm{（meetの冪等性と吸収律より）}
$$

となり，$${a\land(b\lor c)\ge a\land b}$$が示せます．$${a\land(b\lor c)\ge a\land c}$$も同様に示せるため，$${a\land(b\lor c)}$$は$${a\land b}$$と$${a\land c}$$の上界であり，joinは最小上界であることから③が成り立つわけです．

一般の束では③の逆方向の不等号が成り立つことは保証されていないのですが，それが成り立つものとして分配束というものが定義されます．

定義1.15（分配束の定義）　束において以下の分配律が成り立つとき，分配束という：

$$
a\land(b\lor c)=(a\land b)\lor(a\land c).
$$

分配束の例として，集合$${X}$$の冪集合$${PX}$$があります．

分配律の$${\land}$$と$${\lor}$$を入れ替えた双対分配律：

$$
a\lor(b\land c)=(a\lor b)\land(a\lor c)
$$

も成り立つことが，吸収律や分配律を駆使して示すことができます．

まとめ

ここまでで，半束，束，分配束が登場しました．それらを整理して捉えていただければ幸いです．
・join半束：　順序集合の任意の有限部分集合にjoin（最小上界）が存在する．
・meet半束：　順序集合の任意の有限部分集合にmeet（最大下界）が存在する．
・完備：　順序集合の任意の部分集合にjoinが存在すること．meetが存在することも示せる．逆も然り．
・束：　順序集合の任意の有限部分集合にjoinもmeetも存在する．
・分配束：　束において分配律が成り立つ（双対分配律も成り立つ）．

束論の速習が完了しました．写像や部分束については，ばっさりカットしましたが．次回からはブール代数に入ります．

（つづく）