【計算】複利の力

ニュースなどで，
日銀マイナス金利解除，
さらに，大手銀行の普通預金の金利が20倍になって，年利が0.02%になるなど，
話題になっていますね．

ここでは，複利について，
その凄さを一緒に勉強しましょう！

後半は少し難しくなるかも知れませんが，
理解するために，
具体的な数字を代入したり，
グラフを書いてみることをお勧めします！

単利とか、複利って？

単利や複利は，ある時期ごとに，積み重ねされていくものです．
（元々あるものから生まれたものがさらに再投資されていきます！）

例えば，毎日の食事を単利や複利の視点で見てみましょう．

食事を朝昼晩，毎日３食摂っているとします．
すると，１ヶ月後には大体100食くらい，１年後には大体1000食くらい食べてますね．
さて，10年後は大体何食になるでしょうか？

このように，積み重ねによって，大きな値を作ります．
食事では，毎日３食ずつの習慣的な積み重ねが，年単位とかでみると，トータルでたくさんの回数になることを見ました．
これは，勉強でも，スポーツでも，お金でも，同じことが考えられるでしょう．

それはそうだろう，毎日やっているんだから．当たり前じゃないか．
そんな風に思う人もいることでしょう．

しかし，何か初めてすることに感動したり，成長，経験が残った思い出はありませんか？

例えば，
初めて食べる料理を食べたとき，感動した思い出，
初めてするスポーツをしたとき，１回目や２回目などが最も成長を感じた思い出，
勉強した内容が，なるほど！そうだったのか！と見方が変わった思い出，

初めてしたことが後々の経験にずっと残る．
その経験を活かして，ますます成長していく．
その初めてした経験が大きく後にも残って，成長することこそが，「複利」です．

有名なムーアの法則（Moore's law）も，まさにこの複利を表現したものですね．
今後はAIの発展であらゆるものにムーアの法則に従う発展，コストダウンなどが起こることが期待されています．

[参考]

Moore's Law for Everything

半導体産業発展を支える「ムーアの法則」の過去・現在・未来 | サイエンス リポート | TELESCOPE magazine

これに対して，「単利」があります．
それは元のものから生まれたものが，再投資されることなく進みます．
つまり，先ほどの食事の例や，ある時期ごとに一定の値しかもらえないものですね．
（例えば，労働の給料はとてもわかりやすいですね．ある時間ごとに大体一定の額でしょう．）

めちゃくちゃアバウトなイメージでわからなかったと思います．

ここから，単利や複利をより具体的に説明したいと思います．そのためには，数式を使って，この話を明確にしましょう．
そこで，次からはお金を題材に「複利」の凄さを説明しますね．

複利の定式化

さて，ここからは数式を使って説明します．
（もし，計算ミスがあればご指摘ください．）

より直感的に理解するために，ぜひ具体的な数字を入れてみてくださいね． 例えば，$${M_0=100}$$万円，$${c = 0.05}$$ (5%) とか．

元本を $${M_0}$$ として， 年利を $${c}$$ とします．

1年後の増加分は，$${cM_0}$$と表されます．
つまり，1年後の新たな元本（口座にある総額）は
$${M_{1} = (1+c) M_{0}}$$
となります．

2年後の増加分は，$${cM_1}$$と同様に表されます．
2年後の新たな元本は，$${M_2 = (1+c) M_1 = (1+c)^2 M_0}$$ となります．

これを繰り返すと， $${n>1}$$年後の増加分は $${cM_{n-1}}$$ と表され， $${n}$$年後の新たな元本は，$${M_n = (1+c)^n M_0}$$ となります．

複利の定式をさらに一般化

さて，ここからさらに実用的な式にしていきます．
そのために，もっと一般化しましょう．
私たちは普通，月々いくら貯金するとかしますよね．
これを考慮します．

１年ごとに追加で金額を投入していくことにします．
そこで，投資を始めてから$${k}$$年目に$${M^{k}_{0}}$$の元本を貯蓄に入れると考えましょう．
数字について，上付きは投資を始めてからの年数（$${0}$$から$${n}$$まで），下付きは経過年数（$${0}$$から$${n-k}$$まで）です． （混乱しますね．ごめんなさい．より良い表現が見つかったらアプデします．）

さて，$${0}$$年目にあった元本を $${M^{0}{0}}$$とすると，
それは，$${n}$$年後に $${M^{0}{n} = (1+c)^{n} M^{0}_{0}}$$ になりました．
ここに，$${1}$$年後から$${n}$$年後までに入れた貯蓄を考慮してみましょう．

投資開始後，
1年後に入れた元本$${M^{1}_{0}}$$は $${n}$$ 年後には $${M^{1}_{n-1} = (1+c)^{n-1} M^{1}_{0}}$$ になります．
2年後に入れた元本$${M^{2}_{0}}$$は $${n}$$ 年後には $${M^{2}_{n-2} = (1+c)^{n-2} M^{2}_{0}}$$ になります．
したがって，$${k}$$ 年後に入れた元本 $${M^{k}_{0}}$$ は
$${n}$$ 年後には $${M^{k}_{n-k} = (1+c)^{n-k} M^{k}_{0}}$$ になりますね．

これより，$${0}$$から$${n}$$年までに年毎に元本$${M^{0}_{0}, M^{1}_{0}, ..., M^{k}_{0}, ..., M^{n}_{0}}$$を投資した場合にトータルで口座にある金額は，
$${ M_{0}^{n+1} = \sum_{k = 0}^{n} M^{k}_{n-k} = \sum_{k = 0}^{n} (1+c)^{n-k} M^{k}_{0} }$$
となります．

簡単のために，毎年同じ金額を入れることにしましょう． つまり，全ての$${k}$$について，$${M^{k}_{0} = M}$$としましょう．

この時，トータルで口座に$${n}$$年後ある金額は，
$${\sum_{k = 0}^{n} (1+c)^{n-k} M = \frac{(1+c)^{n+1} - 1}{c} M}$$
のようになります．
（初項$${1}$$, 公比 $${(1+c)}$$, 項数 $${(n+1)}$$ の等比級数である．）

NOTE（注意）:
もちろん，実際は，年利$${c}$$も，年々変動するので，年利$${c}^{k}$$ のように記述するべきでしょうが，これは問題をより複雑にしてしまい，複利を理解しづらくしてしまう．平均化された年利として一定の$${c}$$を採用するのがいい．

あなたがもし，月々 $${m}$$ だけ投資するとしましょう． $${M = 12 m }$$ が成り立ちますね． 今何歳ですか？ これから，$${n}$$年後まで平均年利$${c}$$で投資を続けて，どうなるでしょうか？

恐ろしい，早いうちに堅実な投資をするといいとわかりますね．

これはもちろん，お金だけではありませんね， 習慣として何か行なっていくことが，将来に大きな結果を生むだろうことが想像できます！

複利と単利の比較

複利と単利について扱いました．
（単利の計算方法は下記の付録，Appendixを参照してください．）

実際にどのように違いが生まれるのか， グラフで見てみましょう．
（このシミュレーションもいつか公開したいです．）

元本$${M}$$ を投入した場合に年利$${c}$$で運用された場合， $${n}$$年後にどうなるかプロットしています．
（グラフでは，$${M = 100}$$（万円），年利$${c = 5}$$（％）です．）

Appendix：単利

単利の場合にも簡単に数式で触れておきます．
複利は時間に対して，指数関数的な増大が起こりますが，
これは単純な線形的な関数です．
$${M_{n} = M_{0} + n S = (1+cn) M_{0}}$$
のようなものですね．
解釈としては，$${S = c M_{0}}$$ は年収，$${M_0}$$ は元本（元々持っている金額），$${n}$$ は経過年数．