共変(covariant)，反変(contravariant)，テンソル(tensor)

このノートについて

何度でも復習しておきたい．
共変，反変，テンソルは初学者を悩ませる．
何が共変で，反変で，テンソルとはなんなのか．
ちょっと理解してみよう．

デカルト

その昔，デカルトは，天井に止まったハエを見て，ハエの位置の伝え方を考えたそうだ．
どうやって伝えようか？

伝える相手は，以前，この部屋にきたことがあって，天井の様子を知っていることとしよう．この相手にどうハエが出現した位置を伝えようか？

１つのアイデアとして，
天井の左下端から右下端に向かう横方向を$${x^1}$$軸，
天井の左下端から左上端に向かう縦方向を$${x^2}$$軸，
ととってみよう．
横方向に$${10}$$cm, 縦方向に$${20}$$cm の位置にハエが止まっていたなら，
ハエの位置，座標は，左端を原点として，
$$(x^1, x^2)=(10, 20)$$ と伝えられる．

いや，他のアイデアとして，天井の真ん中に吊るされたシーリングファンを基準に考えることだってできる．
天井のシーリングファンからハエまで向かう向きを$${\xi^1}$$軸，
ファンの羽の１つにテープで目印をつけて，そこからの反時計回り方向に角度をとって，$${\xi^2}$$軸としてみる．
ハエの位置はシーリングファンから，10cm離れていて，テープをつけた羽から反時計回りに30度ずれたところ，即ち，$${(\xi^1, \xi^2)=}$$(10cm, 30度)のように伝えられる．（もちろん，テープを何番目の羽につけたか共有しておいて．あと，ファンの電源は切っておこう．）

２人の観測者

観測者$${R}$$と観測者$${G}$$（Roman文字座標とGreek文字座標）の２人の観測者を考えよう．
彼らのとる座標系（frame）は，
それぞれ
$${R: \bold{x} = x^{k}  = (x^1, x^2, \cdots) }$$(R-frame)
$${G: \bold{\xi} = \xi^{i} = (\xi^1, \xi^2, \cdots) }$$(G-frame),
とする．

さっきまでのデカルトの話で見たように，
僕たち観測者は好きなように座標を決められる．
座標を決める際には，軸を決めていた．

例えば，
R-frame では，天井の縦横方向，
G-frame では，天井につけられたシーリングファンからの外向きの向きと，一つのテープをつけてある羽からの反時計回りの向きの角度
といった感じだ．

基準，基底

R-frame, G-frame での位置を伝えるのに，
$${R: \bold{x} = x^{k}  = (x^1, x^2, \cdots) }$$(R-frame)
$${G: \bold{\xi} = \xi^{i} = (\xi^1, \xi^2, \cdots) }$$(G-frame),
のように表示してきた．

ここで，座標を考えるときに，基準となる向きと方向を決めたことに注意してみよう．
この基準（基底）を次のように表そう．

R-frameでの基底：
$${\bold{e}_1 = (1, 0, 0, \cdots, 0, 0)}$$
$${\bold{e}_2 = (0, 1, 0, \cdots, 0, 0)}$$
etc…

G-frameでの基底：
$${\bold{\epsilon}_1 = (1, 0, 0, \cdots, 0, 0)}$$
$${\bold{\epsilon}_2 = (0, 1, 0, \cdots, 0, 0)}$$
etc…

ベクトル（Vector）

ベクトルは，方向と向きをもつ量と定義される．

例えば，ハエが１秒のうちに動いた位置のずれ，変位（Displacement）$${\Delta \bold{r}}$$はベクトルだ．

同じずれ方をしているはずだが，
R-frame と G-frame ではその表現は変わる．

R-frame : $${(\Delta x^1, \Delta x^2)=}$$(30cm, 50cm)
G-frame : $${(\Delta \xi^1, \Delta \xi^2)=}$$(5cm, 10度)

これは同じものであるはずだから，
$${\Delta \bold{r} = \Delta x^1 \bold{e}_1 + \Delta x^2 \bold{e}_2}$$
$${= \Delta \xi^1 \bold{\epsilon}_1 + \Delta \xi^2 \bold{\epsilon}_2}$$
となるはずだ．

写像(mapping)

R-frame から G-frame への変換を表す操作，
写像(Mapping)$${M}$$を以下のように定義しよう．
$${M: R \to G, \xi^i = \xi^i(x^k)}$$

Exercise

[1] 写像の具体例
R-frame $${(x^1, x^2) = (x,y)}$$
（直交座標系, Orthogonal coordinate system）
から，
G-frame $${(\xi^1, \xi^2) = (r, \theta)}$$
（極座標，Polar coordinate system）
への写像$${M}$$はどのように表されるか？

[2] 逆写像, inverse mapping
G-frame から R-frame へのマッピングを，$${M^{-1}}$$と表現する．
G-frame $${(\xi^1, \xi^2) = (r, \theta)}$$から，
R-frame $${(x^1, x^2) = (x,y)}$$への逆写像$${M^{-1}}$$はどのように計算されるか？

Answer

[1]
$${r = \sqrt{x^2 + y^2}}$$
$${\theta = \tan^{-1}(\frac{y}{x})}$$

[2]
$${x = r \cos{\theta}}$$
$${y = r \sin{\theta}}$$

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一旦休憩しましょう．Coffee break

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基底間の変換

基底はR-frame から G-frame に変わる時，どのように変換されるか？

これを知るために変位ベクトル$${\Delta \bold{r}}$$を考えよう．

変位ベクトル$${\Delta \bold{r}}$$は各frameでどうなるか？
以下のように表せるはずだ．
以後，Einstein's convention （Einstein の縮約表記）を用いて記述する．

R-frame:
$${\Delta \bold{r} = \Delta x^1 \bold{e}_1 + \Delta x^2 \bold{e}_2 = \Delta  x^k \bold{e}_k}$$

G-frame:
$${\Delta \bold{r} = \Delta \xi^1 \bold{\epsilon}_1 + \Delta  \xi^2 \bold{\epsilon}_2 = \Delta  \xi^i \bold{\epsilon}_i}$$

ここで，写像$${M}$$を定義していた．
$${M: R \to G, \xi^i = \xi^i(x^k)}$$

変位が微小な時，
$${\Delta  \xi^i = \frac{\partial \xi^{i}}{\partial x^{k}} \Delta x^{k}}$$
であるから，
G-frameでの変位：
$${\Delta \bold{r} = \Delta  \xi^i \bold{\epsilon}_i = \frac{\partial \xi^{i}}{\partial x^{k}} \Delta x^{k} \bold{\epsilon}_i = \frac{\partial \xi^{i}}{\partial x^{k}} \bold{\epsilon}_i \Delta x^{k} }$$

これがR-frameでの変位と等しいので，
$${\Delta \bold{r} = \frac{\partial \xi^{i}}{\partial x^{k}} \bold{\epsilon}_i \Delta x^{k} = \bold{e}_k \Delta  x^k }$$

よって，基底の変換は
（G-frameの基底$${\bold{\epsilon}_i}$$から，R-frameの基底$${\bold{e}_k}$$への変換は）
$${\bold{e}_k = \frac{\partial \xi^{i}}{\partial x^{k}} \bold{\epsilon}_i}$$
と表せる．

$${\frac{\partial \xi^{i}}{\partial x^{k}}}$$は行列である．

Exercise

R-frameの基底$${\bold{e}_k}$$から，G-frameの基底$${\bold{\epsilon}_i}$$への変換はどのように表されるか？

Answer

$${\bold{\epsilon}_i = \frac{\partial x^{k}}{\partial \xi^{i}} \bold{e}_k}$$

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一旦休憩しましょう．Coffee break

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接空間での写像

前節で見たように，基底の変換は，以下のようになっていた：
$${G \to R: \bold{e}_k = \frac{\partial \xi^{i}}{\partial x^{k}} \bold{\epsilon}_i }$$
$${R \to G: \bold{\epsilon}_i = \frac{\partial x^{k}}{\partial \xi^{i}} \bold{e}_k }$$

このように基底の変換は
行列$${\frac{\partial \xi^{i}}{\partial x^{k}}}$$，$${\frac{\partial x^{k}}{\partial \xi^{i}}}$$といった，座標系の偏微分による行列で表される（Jacobi行列，ヤコビ行列とも呼ばれる）．

ここで，
写像$${M: R \to G, \xi^i = \xi^i(x^k)}$$
逆写像$${M^{-1}: G \to R, x^k = x^k(\xi^i)}$$
という表現を拡張して，

写像 $${dM: dR \to dG, \frac{\partial \xi^{i}}{\partial x^{k}} dx^{k} }$$
逆写像 $${dM^{-1}: dG \to dR, d\xi^i = dx^k = \frac{\partial x^{k}}{\partial \xi^{i}} d\xi^{i} }$$
を定義する．

ここで，新たに定義された$${(dG, dR)}$$-frame はそれぞれ$${G,R}$$-frame内での変化量について表された空間で，接空間（tangent space）と呼ばれる．

これまで見た，基底の変換は，
この写像$${dM, dM^{-1}}$$を用いて，どのように表されるか？

$${\bold{\epsilon}_i \to \bold{e}_k }$$: G-frame の基底から，R-frameの基底への変換
$${ \bold{e}_k = \frac{\partial \xi^{i}}{\partial x^{k}} \bold{\epsilon}_i }$$
であるから，逆写像 $dM^{-1}$ によって写される．
$${dM^{-1}: \bold{\epsilon}_i \to \bold{e}_k, \bold{e}_k = \frac{\partial \xi^{i}}{\partial x^{k}}\bold{\epsilon}_i }$$

$${ \bold{e}_k  \to \bold{\epsilon}_i }$$：R-frame の基底から，G-frameの基底への変換
$${ \bold{\epsilon}_i = \frac{\partial x^{k}}{\partial \xi^{i}} \bold{e}_k }$$
であるから，写像 $dM$ によって写される．
$${dM: \bold{e}_k  \to \bold{\epsilon}_i, \bold{\epsilon}_i = \frac{\partial x^{k}}{\partial \xi^{i}} \bold{e}_k }$$

Exercise

写像$${M: R \to G}$$について，
R-frame （2次元直交座標）とG-frame (2次元極座標)とする．
この時，写像$${dM}$$および$${dM^{-1}}$$を求めよ．

Answer

写像のまとめ, recap

R-frame から G-frame への変換を写像$${M}$$を用いて，
$${M: R \to G, \xi^i = \xi^i(x^k)}$$
その逆像を
$${M^{-1}: G \to R, x^k = x^k(\xi^i)}$$
のように表したのだった．

この時，基底の変換は以下のようになる
（写像$M: G \to R$が$${R}$$-frame から$${G}$$-frame への基底の変換だと$dM^{-1}$で変換されていることに注意！！）：

$${dM^{-1}: dG \to dR, \bold{\epsilon}_i \to \bold{e}_k, \bold{e}_k = \frac{\partial \xi^{i}}{\partial x^{k}}\bold{\epsilon}_i }$$

$${dM: dR \to dG, \bold{e}_k  \to \bold{\epsilon}_i, \bold{\epsilon}_i = \frac{\partial x^{k}}{\partial \xi^{i}} \bold{e}_k }$$

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Coffee break

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共変（Covariant）と反変（Contravariant）

基底と同じ変換に従うもの（基底と共に変換される）を共変（Covariant）という．つまり，写像$${M: G \to R}$$に対して，写像$${dM^{-1}}$$で写される全ての量だ．

一方で，写像$${dM}$$で写される量（こちらは成分と同じ変換に従うとも言える）は反変（Contravariant）という．

共変性の原理

あらゆるframe は基底を設定して，はじめて位置などの情報を伝えることができる．物理的に意味ある量はすべて共変な量で表される．
このように共変な量と，反変な量の区別は重要なのである．

したがって，
共変な量を$${\bold{e}_i}$$のように下付きの添字をつけて書き，
反変な量$${x^k}$$のように上付き添字をつけて書いて区別している．

添字（index）のルールの確認

写像
$${M: R \to G}$$，$${dM: dR \to dG}$$
$${M^{-1}: G \to R}$$，$${dM^{-1}: dG \to dR}$$
に関して，

上付き添字の量は写像$${dM}$$で変換する．
(R-frame の基底から，G-frame の基底を得る写像)

下付き添字の量は写像$${dM^{-1}}$$で変換する．
(G-frame の基底から，R-frame の基底を得る写像．)

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Coffee break

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テンソル, Tensor

最後にテンソルを定義する．

これは，先ほどの座標を表現するのに用いた，基底$${\bold{e}_k}$$，座標$${x^k}$$などを一般化した概念（ひとまとめにしたもの）である．
だからこそ，ちょっと分かりにくい．

Definition: Tensor
R-frame $${(x^k)}$$, G-frame$${(\xi^i)}$$に関する写像$${M: R \to G}$$に関して，$${(p,q)}$$-type tensorを定義する．
各 R-frame (Tensor: $${\overset{R}{\mathbb{T}}}$$), G-frame (Tensor: $${\overset{G}{\mathbb{T}}}$$) に関して，
$${(p,q)}$$-type tensorは以下を満たすものと定義される：
$${\overset{G}{T}^{i_{1},i_{2}, \cdots, i_{p}}_{j_{1},j_{2}, \cdots, j_{q}} = \overset{R}T^{k_{1},k_{2}, \cdots, k_{p}}_{l_{1},l_{2}, \cdots, l_{q}} (dM)^{i_{1}}_{k_{1}} (dM)^{i_{2}}_{k_{2}} \cdots (dM)^{i_{p}}_{k_{p}}  (dM^{-1})_{j_{1}}^{l_{1}} (dM^{-1})_{j_{2}}^{l_{2}} \cdots (dM^{-1})_{j_{q}}^{l_{q}}  }$$

where,
$${(dM)^{i}_{k} \equiv \frac{\partial \xi^{i}}{\partial x^{k}}}$$
$${(dM^{-1})_{j}^{l} \equiv \frac{\partial x^{l}}{\partial \xi^{j}}}$$

(1,0)-type tensor: 
$${\overset{G}{T}^{i} = \overset{R}{T}^{k}  (dM)^{i}_{k}}$$
for example,
$${ d\xi^{i} = \frac{\partial \xi^{i}}{\partial x^{k}} dx^{k} }$$

(0,1)-type tensor:
$${\overset{G}{T}_{j} = \overset{R}{T}_{l}  (dM^{-1})_{j}^{l}}$$
for example,
$${\bold{\epsilon}_{j} = \frac{\partial x^{k}}{\partial \xi^{j}} \bold{e}_{k}}$$

(1,0)-type, (0,1)-type tensor は vector と呼ばれる．

(0,0)-type tensor: スカラー，scalar である．
$${\overset{G}{T} = \overset{R}{T}}$$

Exercise:

(2,0), (1,1), (0,2)-type tensor の例は何か？

まとめ：共変，反変，テンソルとは何だったのか？

まず，２つの座標系（R-frame と G-frame）を考えたのだった．

そして，写像$${M: R \to G}$$ を考えた．
R-frame と G-frame の基底について，どのように変換されるのかを考えた．

R-frame の基底から，G-frameの基底を得たいとき，
写像$${dM^{-1}: dG \to dR}$$ を用いた．

G-frame の基底から，R-frameの基底を得たいとき，
写像$${dM: dR \to dG}$$ を用いた．

そして，上付き添字（反変）と下付き添字（共変）の定義を行なった．

写像$${M: R \to G}$$の座標変換に対して，

この変換と同様の変換に従うとき（共変）には，下付き添字とした．
つまり，R-frame の基底から，G-frameの基底を得る変換に従う場合に下付き添字を使う．
（下付き添字は，$${dM^{-1}}$$によって変換される．）

この変換と逆の場合には（反変），上付き添字とした．
つまり，G-frame の基底から，R-frameの基底を得る変換に従う場合に上付き添字を使う．
（上付き添字は，$${dM}$$によって変換される．）

最後にテンソルを定義した．
$${(p,q)}$$-type tensorは，
$${p}$$個の上付き添字（反変成分），$${q}$$ 個の下付き添字（共変成分）を持つ量である．
さらに，$${(p,q)}$$-type tensorは$${M: R \to G}$$ の変換について，R-frameで表されたtensorから，G-frameで表されたtensorに以下の規則で変換できるものとして定義される：

R-frame で表された$${(p,q)}$$-type tensorに対して，
$${p}$$個の反変成分の変換（$${dM}$$を$${p}$$回演算）
$${q}$$個の共変成分の変換（$${dM^{-1}}$$を$${q}$$回演算）
を行うことで，
G-frame で表された$${(p,q)}$$-type tensorを得る．

まだ，数学的にも厳密ではないし，大雑把な理解であるが，
このノートを記しておく．
直積表記，direct product or outer product, cross product あたりをきちんと学習したら，また，テンソルについては書くことになるだろう．