オイラー定数とは１

数列の和の計算について高校で習ったことは、ガウスで有名な

$${\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k = 1+2+3+4+\cdots + n = \frac{1}{2}n(n+1)}$$

一歩進んで、

$${\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k^2 = 1^2+2^2+3^2+4^2+\cdots + n^2 = \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)}$$

こんなところです。さらに、分数を使うと次のようなものも定番です。
$${\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot4}+\cdots\frac{1}{n(n+1)}=\frac{n}{n+1}}$$

それなら、

$${\displaystyle \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{k}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}\cdots}$$

こんなのは簡単だろうと高を括っていました。ところがいろいろ調べると、とんでもなく奥深いことがわかってきました。厳密なことはさておき、直感的に理解したいと思います。まず手始めにグラフを作ってみます。

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
plt.style.use('seaborn-poster')
n = 1000
x = np.arange(1, n+1)
#1/nの合計
sigma=0
func=[]
for i in x:
   sigma+=(1/i)
   func.append(sigma)
func_np=np.array(func)
#グラフの作成
formula=[1/x,func_np]
labels = [r'$\sum \frac{1}{x}$',r'$\frac{1}{x}$']
colors=['b','r']
plt.figure(figsize = (10,8))
for fx, label, color in zip(formula, labels,colors):
   plt.plot(x,fx, color, label = label)
plt.grid()
plt.title(r'$\sum \frac{1}{x}$と$\frac{1}{x}$の関係',fontname="MS Gothic")
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.legend()

$${1/x}$$が0に収束するのは明らかですが、$${\sum 1/x}$$はグラフの形をみると発散しているように見えます。高校数学の範囲では以下のような方法で発散することを証明しています。

$${\displaystyle \sum_{k=1}^{2^n} \dfrac{1}{k}=1+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)+\left( \frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8} \right) \cdots}$$

$${\displaystyle+ \cdots \left(\frac{1}{2^{n-1}+1}+\cdots +\frac{1}{2^{n}}\right)}$$

$${\displaystyle \gt 1+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\right)+\left( \frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8} \right) \cdots}$$

$${\displaystyle+ \left(\frac{1}{2^n}+\frac{1}{2^n}+\cdots +\frac{1}{2^{n}}\right)}$$

$${\displaystyle=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\times2+\frac{1}{8}\times4\cdots +\frac{1}{2^n}\times2^{n-1}}$$

$${\displaystyle=1+\underbrace{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\cdots +\frac{1}{2}}_{n}}$$

$${\displaystyle=1+\frac{n}{2}}$$

つまり$${\displaystyle \sum_{k=1}^{2^n} \dfrac{1}{k} \gt 1+\frac{n}{2}}$$となりますが

$${\displaystyle \lim_{n \to \infty}\left(1+\dfrac{n}{2}\right)=\infty}$$なので、これより大きな$${\displaystyle \lim_{n \to \infty}\dfrac{1}{k}}$$も発散することがわかります。つまり次の通りです。

$${\displaystyle \lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{k}=\infty}$$

そこで、$${\displaystyle\sum \frac{1}{x}}$$と$${\displaystyle\frac{2}{n}+1}$$の関係をグラフにします。

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
plt.style.use('seaborn-poster')
n = 10
x = np.arange(1, 2**n+1)
#1/nの合計
sigma=0
func=[]
for i in x:
   sigma+=(1/i)
   func.append(sigma)
func_np=np.array(func)
#1/2+1/2+1/2・・・
j=0
func2=[]
sigma=0
for i in x:
   sigma+=1/(2**j)
   func2.append(sigma)
   if i==2**j:
       j+=1
func2_np=np.array(func2)
#グラフの作成
formula=[func_np,func2_np]
labels = [r'$\sum \frac{1}{x}$',r'$\frac{2}{n}+1$','']
colors=['r','b']
plt.figure(figsize = (10,8))
for fx, label, color in zip(formula, labels,colors):
   plt.plot(x,fx, color, label = label)
plt.grid()
plt.title(r'$\sum \frac{1}{x}$と$\frac{2}{n}+1$の関係',fontname="MS Gothic")
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.legend()

当然ですが、かなり差がつくことがわかります。