エルゴード理論における再帰性と組合せ論的数論（書きかけ）

第5章　測度論における準備

　この章では，次の２つの章で必要となる測度論の専門的題材を集めた．その題材のほとんどが，あとで繰り返し使われる，測度空間の因子という概念に関係する．

1.測度空間と保測系の因子

測度空間は，任意の空間$${X}$$，$${X}$$の部分集合から成る$${\sigma}$$-加法族$${{\mathscr B}}$$，(便宜上)$${\mu(X)=1}$$をみたす$${{\mathscr B}}$$上の$${\sigma}$$-加法的非負測度$${\mu}$$に対して，3つの組$${(X,\mathscr{B},\mu)}$$として定義されることを思い出す．$${(Y,\mathscr{D},\nu)}$$が別の測度空間であるとき，写像$${\phi:X \to Y}$$が保測であるとは
(i) それが可測，つまり，各$${A \in \mathscr{D}}$$に対し$${\phi^{-1}(A) \in \mathscr{B}}$$であり，かつ
(ii) 各$${A \in \mathscr{D}}$$に対し，$${\mu(\phi^{-1}(A))=\nu(A)}$$
であるときにいう．
　議論の大半において，測度空間$${(X,\mathscr{B},\mu)}$$の基礎を成す空間$${X}$$は副次的な役割を果たし，$${\sigma}$$-加法族$${\mathscr{B}}$$と測度$${\mu}$$を定義するための手段を与えるだけである．さらに，零集合（$${\mu}$$-測度$${0}$$の集合）だけ異なる，$${\mathscr{B}}$$の集合たちはしばしば同一視される．結果として，測度空間$${(X,\mathscr{B},\mu)}$$には，$${\mu(A \cup A^\prime - A \cap A^\prime) = 0}$$のとき$${A \sim A^\prime}$$とする同値関係による，$${\mathscr{B}}$$に属す集合の同値類から成る抽象$${\sigma}$$-加法族$${\tilde{\mathscr{B}}}$$を，$${\tilde{\mathscr{B}}}$$上の関数としての測度$${\mu}$$とともに，添付するのがしばしば好都合となるだろう．例えば，空間$${L^p(X,\mathscr{B},\mu)}$$は$${(\tilde{\mathscr{B}},\mu)}$$で決定される．　
　2つの測度空間$${(X,\mathscr{B},\mu)}$$と$${(Y,\mathscr{D},\nu)}$$の間に保測変換$${\phi:X \to Y}$$があるとき，定義するための条件 (i) と (ii) から，写像$${\phi^{-1}:\mathscr{D} \to \mathscr{B}}$$が中心的役割を果たしてるのがわかる．そこで，保測変換の概念を準同型$${\alpha : (X,\mathscr{B},\mu) \to (Y, \mathscr{D}, \nu)}$$の概念に一般化する．そこで与えられるのは，（零集合を法とする）代数の写像$${\tilde{\mathscr{D}} \to \tilde{\mathscr{B}}}$$だけであり，$${\alpha^{-1}}$$で表そう．すべての準同型が空間写像$${X \to Y}$$から生じるとは限らない．しかし，空間写像は最も重要な例を与えるので，たとえ写像$${\alpha^{-1} : \tilde{\mathscr{D}} \to \tilde{\mathscr{B}}}$$だけが与えられたとしても，抽象準同型$${\alpha}$$の向きは$${(X,\mathscr{B},\mu)}$$から$${(Y,\mathscr{D},\nu)}$$であると考えよう．
定義5.1. 2つの測度空間の間の準同型$${\alpha:(X,\mathscr{B},\mu) \to (Y,\mathscr{D},\nu)}$$は
(i) $${\alpha^{-1}(\tilde{A_1} \cup \tilde{A_2})=\alpha^{-1}(\tilde{A_1}) \cup \alpha^{-1}(\tilde{A_2})}$$
(ii) $${\alpha^{-1}(\tilde{Y} - \tilde{A}) = \tilde{X} - \alpha^{-1}(\tilde{A})}$$，$${\tilde{A} \in \tilde{\mathscr{D}}}$$
(iii) $${\mu(\alpha^{-1}(\tilde{A})) = \nu (\tilde{A})}$$，$${\tilde{A} \in \tilde{\mathscr{D}}}$$
をみたす単射$${\alpha^{-1}:\tilde{\mathscr{D}} \to \tilde{\mathscr{B}}}$$で与えられる．
　準同型の定義において，写像$${\alpha^{-1}}$$は1対1でなければならないことに注意する．なぜならば，$${\alpha^{-1}(\tilde{A})=\alpha^{-1}(\tilde{B})}$$ならば，$${\alpha^{-1}(\tilde{A} \cup \tilde{B}) = \alpha^{-1}(\tilde{A} \cap \tilde{B})}$$であり，したがって$${\nu(\tilde{A} \cup \tilde{B})=\nu(\tilde{A} \cap \tilde{B})}$$．これは$${\tilde{A}=\tilde{B}}$$を含意する．

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$${\because}$$）$${\alpha^{-1}(\tilde{A} \cup \tilde{B}) = \alpha^{-1}(\tilde{A}) \cup \alpha^{-1}(\tilde{B}) = \alpha^{-1}(\tilde{A}) \cap \alpha^{-1}(\tilde{B}) = \alpha^{-1} (\tilde{Y} - (\tilde{Y} - \tilde{A})) \cap \alpha^{-1}(\tilde{Y} - (\tilde{Y}-\tilde{B})) = \tilde{X} - \alpha^{-1}(\tilde{Y} - \tilde{A}) \cap \tilde{X} - \alpha^{-1}(\tilde{Y} - \tilde{B}) = \tilde{X} - \alpha^{-1}(\tilde{Y} - \tilde{A}) \cup \alpha^{-1}(\tilde{Y}-\tilde{B}) = \tilde{X}-\alpha^{-1}(\tilde{Y} - \tilde{A} \cup \tilde{Y} - \tilde{B}) = \tilde{X} - \alpha^{-1}(\tilde{Y} - \tilde{A} \cap \tilde{B}) = \alpha^{-1}(\tilde{Y} - (\tilde{Y}-\tilde{A} \cap \tilde{B})) = \alpha^{-1}(\tilde{A} \cap \tilde{B})}$$.

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さらに，$${\alpha^{-1}}$$は$${\sigma}$$-加法族の演算を保つ．もし$${\tilde{A}=\bigcup_{n=1}^\infty \tilde{A_n}}$$ならば
$${\nu(\tilde{A} - \bigcup_{n=1}^N \tilde{A_n})=\nu(\widetilde{\bigcup_{n=1}^\infty A_n} - \widetilde{\bigcup_{n=1}^N A_n}) = \nu (\widetilde{\bigcup_{n=1}^\infty A_n - \bigcup_{n=1}^N A_n}) = \nu (\bigcup_{n=1}^\infty A_n - \bigcup_{n=1}^N A_n)= \nu (\bigcup_{n=1}^\infty B_n - \bigcup_{n=1}^N B_n) = \nu(\bigcup_{n=N+1}^\infty B_n) = \sum_{n=N+1}^\infty \nu(B_n) \to 0 \ \ (N \to \infty).}$$
ただし，$${B_1=A_1, B_n = A_n - \bigcup_{k=1}^{n-1}A_k \ \ (n > 2)}$$．
ゆえに，$${\mu(\alpha^{-1}\tilde{A} - \bigcup_{n=1}^N \alpha^{-1}\tilde{A_n}) \to 0 \ \ (N \to \infty)}$$．

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$${\because}$$）任意の$${A,B \in \mathscr{D}}$$に対し$${\alpha^{-1}(\tilde{A}-\tilde{B})=\alpha^{-1}(\tilde{A})-\alpha^{-1}(\tilde{B})}$$であることから従う．

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2.正則測度空間

3.条件付き期待値

4.測度の分解

5.測度空間の相対積

6.正則準同型

第6章　保測力学系の構造

測度空間の可換保測変換に対する多重再帰定理