紙工作で立体射影をつくった話

ほりたみゅ

2022年12月17日 01:16

はじめに

こんにちは堀川です！これは日曜数学アドベントカレンダー2022の17日目の記事です！
数日前、立体射影を作ってツイッタァで少しバズりました。

立体射影をつくりました！ pic.twitter.com/rLZPHxpfSl
— ほりたみゅ (@Hyrodium) December 4, 2022

ちょっと制作物が気に入らなかったので作り直しました。

今日のアドベントカレンダーの記事では、この曲面模型と立体射影について話します！

立体射影って…何？

立体射影とは、(北極を除いて)球面と平面の各点を全単射で対応させるものです！球面と言っても2次元である必要はなく、一般の$${n}$$次元でOKです。最も単純な1次元球面(=円周)の場合は下図のようになります。

図を見て分かるように、円周上の1点と直線(1次元の平面に相当)上の1点が対応しているのが分かると思います。

2次元なら以下の図のようになります。

3次元では図が描けないですね。上記のような図を書くには4次元Euclid空間$${\mathbb{R}^4}$$に埋め込まれた3次元球面$${S^3}$$が必要になっていまうためです。しかし、立体射影を通じて3次元球面$${S^3}$$上の点を3次元Euclid空間$${\mathbb{R}^3}$$に写して可視化することはできます。これが嬉しい！(応用例は後述のMRPや多胞体の可視化です。)

一般の$${n}$$次元でも絵を描くことは難しいですが、もちろん数式を書くことはできます。球面上の点$${(x_1,\dots,x_{n+1})}$$から平面上への点$${(X_1,\dots,X_n)}$$への対応は以下の式で表されます。

$$
\begin{aligned}
X_1 &= \frac{x_1}{1-x_{n+1}} \\
&\vdots \\
X_n &= \frac{x_n}{1-x_{n+1}}
\end{aligned}
$$

平面上の点$${(X_1,\dots,X_n)}$$から球面上への点$${(x_1,\dots,x_{n+1})}$$への対応は以下の式で表されます。

$$
\begin{aligned}
x_1 &= \frac{2X_1}{{X_1}^2+\cdots+{X_n}^2+1} \\
&\vdots \\
x_n &= \frac{2X_n}{{X_1}^2+\cdots+{X_n}^2+1} \\
x_{n+1} &= \frac{{X_1}^2+\cdots+{X_n}^2-1}{{X_1}^2+\cdots+{X_n}^2+1}
\end{aligned}
$$

立体射影と私

さて、思い出話のコーナーです。私の日曜数学人生の隣にはいつも立体射影がありました。

第一回日曜数学会

立体射影を通じて実数や複素数の逆数が作図できます！(スライドp37がおすすめ)

第四回日曜数学会

立体射影を通じて、直方体の各頂点が反数・逆数・共役で対応付けられます。(スライドp41がおすすめ)

HackDay2016

リーマン球面上のメビウス変換を可視化する装置を作りました。球面ディスプレイの入力はHDMIで、立体射影に見立てて球面ディスプレイに射影していました。

Rotations.jlのメンテナンス

私はJulia周辺のOSS活動もしていまして、回転行列を扱うRotations.jlパッケージは2021年4月頃からメンテナンスしています。
単位四元数($${\simeq S^3}$$)で3次元回転を表すことができますが、$${SO(3)}$$は実3次元多様体なので四元数で表すと1次元分冗長です。これを立体射影で解決したものがMRP型(Modified Rodrigues parameter)です。
詳細はRotaitons.jlのドキュメントもご覧ください。