フラクタルの代表、ジュリア集合

42 Tokyoの「fract-ol」という課題が完成し、以前マンデルブロ集合には取り上げたので、今回はマンデルブロ集合の姉妹とも言える「ジュリア集合」についてまとめる。

ジュリア集合

ジュリア集合（Julia set）は、複素平面上のある反復関数が発散せずに安定する集合のことだ。

計算する漸化式はマンデルブロ集合と同じだが、マンデルブロと異なる点は、定数部（ｃ）を固定し、座標の初期値を変化させるという点だ。

発見者のフランスの数学者、ガストン・ジュリアの名に因んでジュリア集合と名付けられた。

ジュリア集合の数式

漸化式は以下のマンデルブロ集合と同じものを使用する。

$$
Z_{n+1}=Z_{n}^{2}+C
$$

マンデルブロ集合では、初期値を

$$
Z_{0} =0
$$

と固定し、複素数cを変動させていた。

ジュリア集合では逆に、まずはｃを固定する。

そうすることによりZn の初期値を変化させ、 数が安定する（n → ∞ の極限で無限大に発散しない）という条件を満たす集合、これがジュリア集合となる。

マンデルブロとは違い、図形自体が変形するのがジュリア集合の面白いところだ。

ｃの位置によって、以下のように図形が変わっていく。