ボラティリティスマイルから任意のオプションのパラメータを復元する

2024-07-14 13:15にスクショしたオプション価格

今回の記事まとめ

1. ジャンプ拡散過程を用いる

2. パラメータ推定にはモンテカルロアプローチを用いる

3. その上でKOオプションの価値を推定する

まずはジャンプ拡散過程の定義から入る。
これは

通常のGBMに追加のジャンプを許したもの

である。

まあ、そのままですね。
ポイントは、「どんなジャンプを許すか？」にあります。
ここでは取っ付きやすさから正規ジャンプに限定しますが、
現実にはぶっちゃけなんでもよく、さらに特性関数を用いるとClosed Formで表現できることを覚えておいてください（今回使います。）

ではまず、SDEから
$${dx_t=r dt +\sigma dB_t + \beta dN_t\\ \beta = Normal(\mu,v)\\dN_t = Pois(\lambda)}$$

うん、そのままですよ。
シュミレーションは以下のようになります。

proc = TransformedProcess[
  x[t] + v[t], {x \[Distributed] WienerProcess[0.01, 0.03], 
   v \[Distributed] 
    CompoundPoissonProcess[0.1, NormalDistribution[0, 0.3]]}, t]
RandomFunction[proc, {0, 1, 0.001}, 3] // ListLinePlot

為替だとしょっちゅうありますよね、こんな感じの動き。

というわけで、ここからはモンテカルロ法によるVSからパラメータ推定に移ります。（続く）