【偏微分方程式】1次元波動方程式(有限区間)の解法
本記事では1次元波動方程式(定在波)の解析的な解法を示します。
(半)無限区間の波動方程式は別記事で扱います。
※各種 偏微分方程式の解法一覧はこちら
前提知識:
線形代数
偏微分
常微分方程式(2階常微分方程式の解、境界条件、初期条件)
簡単な複素関数($${e}$$の複素数乗)
三角関数の直交性(記事内でも簡単に解説します)
以下の偏微分方程式を解く。
$$
\frac{{{\partial}^2}u(x, t)}{{{\partial}}t^2} = {c^{2}}\frac{{{\partial}^2}u(x, t)}{{{\partial}}x^2} (c:定数, 0 < x < 1, t > 0)
$$
$$
u(x, 0) = u_0(x) (0 < x < 1, 初期条件)
$$
$$
\left.\frac{{\partial}u(x, t)}{{\partial}t}\right|_{t=0} = v_0(x) (0 < x < 1, 初期条件)
$$
$$
u(0,t) = u(1, t) = 0 (t > 0, 境界条件)
$$
※$${u(x, t) = 0}$$は自明解なので考えない。
1.変数分離
$${u(x, t) = X(x)T(t) (X(x), T(t) \neq 0)}$$ と表すと、波動方程式は
$$
X(x)T''(t) = c^2X''(x)T(t)
$$
$$
\therefore \frac{X''(x)}{X(x)} = \frac{1}{c^2} \frac{T''(t)}{T(t)}
$$
と変形できる。
この式で、左辺の変数は$${x}$$のみ、右辺の変数は$${t}$$のみなので、等号が成り立つとき両辺は定数である。
定数を$${k}$$として
$$
\frac{X''(x)}{X(x)} = \frac{1}{c^2} \frac{T''(t)}{T(t)} = k
$$
2.$${X(x)}$$を求める
$${X(x)}$$について整理すると$${X''(x) = kX(x)}$$となる。
境界条件は
$$
u(0,t) = u(1, t) = 0
$$
より
$$
X(0)T(t) = X(1)T(t) = 0
$$
$$
\therefore X(0) = X(1) = 0
$$
となる。
定数$${k}$$が0の場合とそれ以外の場合に分けてこの常微分方程式を考える。
$${(1) k = 0}$$のとき
$${X''(x) = 0}$$より$${X(x) = ax+b}$$ ($${a,b}$$は定数)
境界条件を適用すると
$$
X(0) = b = 0
$$
$$
X(1) =a + b = 0
$$
これらを連立して解くと$${a = b = 0}$$となり$${X(x) = 0}$$を得る。
したがって$${k = 0}$$は不適。
$${(1) k \neq 0}$$のとき
$${X''(x) = kX(x)}$$の一般解は定数$${A, B}$$を用いて
$$
X(x) = Ae^{\sqrt{k}x} + Be^{-\sqrt{k}x}
$$
となる。境界条件を適用すると
$$
X(0) = A + B = 0
$$
$$
X(1) = Ae^{\sqrt{k}} + Be^{-\sqrt{k}} = 0
$$
これらを連立して解くと$${A, B}$$を得て$${X(x)}$$が求められるが、先にこの連立方程式が非自明解を持つ条件を確認する。
(非自明解を持たないとき$${X(x) = 0}$$となってしまう)
連立方程式$${A\bm{x} = \bm{0}}$$が非自明解を持つ必要十分条件は$${det(A) = 0}$$が成り立つことなので、
$$
e^{-\sqrt{k}}-e^{\sqrt{k}} = 0
$$
$$
\therefore e^{2\sqrt{k}} = 1
$$
$$
\therefore \sqrt{k} = n{\pi}i (n {\in} {\mathbb{Z}})
$$
したがって$${\sqrt{k} = n{\pi}i}$$のとき連立方程式は非自明解を持つ。
$${n}$$に対応する$${A, B}$$をそれぞれ$${A_n, B_n}$$と書き、これを用いた解$${X(x)}$$を$${X_n(x)}$$と書くこととすると
$$
X_n(x) = A_ne^{n{\pi}ix} + B_ne^{-n{\pi}ix}
$$
$$
= A_n(\cos{{n{\pi}x}} + i\sin{{n{\pi}x}}) + B_n(\cos{{n{\pi}x}} - i\sin{{n{\pi}x}})
$$
$$
= (A_n + B_n)\cos{n{\pi}x} + i(A_n-B_n)\sin{n{\pi}x}
$$
境界条件$${A_n + B_n = 0}$$より、$${i(A_n-B_n) = C_n}$$とおいて
$$
X_n(x) = C_n \sin{n{\pi}x}
$$
3.$${T(t)}$$を求める
$${T(t)}$$について整理すると$${T''(t) = kc^2T(t)}$$となる。
$${T(t)}$$の一般解は定数$${D, E}$$を用いて
$$
T(t) = De^{\sqrt{k}ct} + Ee^{-\sqrt{k}ct}
$$
と表せるので、$${X(x)}$$と同様に$${n}$$に対応する定数$${D_n, E_n}$$を用いて
$$
T_n(t) = D_ne^{cn{\pi}it} + E_ne^{-cn{\pi}it}
$$
$$
= D_n(\cos{{cn{\pi}t}} + i\sin{{cn{\pi}t}}) + E_n(\cos{{cn{\pi}t}} - i\sin{{cn{\pi}t}})
$$
$$
= (D_n + E_n)\cos{cn{\pi}t} + i(D_n-E_n)\sin{cn{\pi}t}
$$
$${i(D_n + E_n) = F_n}$$、$${i(D_n - E_n) = G_n}$$とおいて
$$
T_n(t) = F_n\cos{cn{\pi}t} + G_n\sin{cn{\pi}t}
$$
4.$${u(x, t)}$$の一般解を求める
したがって、$${X_n(x), T_n(t)}$$を用いて表す解を$${u_n(x, t)}$$と書くと
$$
u_n(x, t) = X_n(x)T_n(t)
$$
$$
= C_n \sin{n{\pi}x}(F_n\cos{cn{\pi}t} + G_n\sin{cn{\pi}t})
$$
$${\alpha_n = C_nF_n, \beta_n = C_nG_n}$$とおくと
$$
u_n(x, t) = \sin{n{\pi}x}(\alpha_n\cos{cn{\pi}t} + \beta_n\sin{cn{\pi}t})
$$
と表せる。
この偏微分方程式は線形なので、解の線形結合も解になる。したがって
$$
\sum_{n = 1}^{\infin}u_n(x, t) = \sum_{n = 1}^{\infin}\sin{n{\pi}x}(\alpha_n\cos{cn{\pi}t} + \beta_n\sin{cn{\pi}t})
$$
も解である。これをこの偏微分方程式の一般解とし、$${u(x, t)}$$で表す。
$$
u(x, t) = \sum_{n = 1}^{\infin}\sin{n{\pi}x}(\alpha_n\cos{cn{\pi}t} + \beta_n\sin{cn{\pi}t})
$$
次の工程のために、これを$${t}$$で偏微分したものも求めておく。
$$
\frac{{\partial}u(x, t)}{{\partial}t} = \sum_{n = 1}^{\infin}cn{\pi}\sin{n{\pi}x}(-\alpha_n\sin{cn{\pi}t} + \beta_n\cos{cn{\pi}t})
$$
5.$${\alpha_n, \beta_n}$$を求める
初期条件
$$
u(x, 0) = \sum_{n = 1}^{\infin}\alpha_n\sin{n{\pi}x} = u_0(x)
$$
から$${\alpha_n}$$を求める。
両辺(中央と右)に$${\sin{m{\pi}x} (m \in \mathbb{N})}$$をかけると
$$
\sum_{n = 1}^{\infin}\alpha_n\sin{n{\pi}x}\sin{m{\pi}x} = u_0(x)\sin{m{\pi}x}
$$
となり、両辺を0から1まで$${x}$$について積分する。
三角関数の直交性(以下)により
$$
\int_0^1\sin{n{\pi}x}\sin{m{\pi}x}\,dx = \frac{\delta_{n,m}}{2}
$$
※$${\delta_{n,m}}$$はディラックのデルタ関数。
これを三角関数の直交性という。詳しくは「直交関数系」などで検索。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%9B%B4%E4%BA%A4%E9%96%A2%E6%95%B0%E5%88%97
$$
\int_0^1u_0(x)\sin{m{\pi}x}\,dx = \int_0^1\sum_{n = 1}^{\infin}\alpha_n\sin{n{\pi}x}\sin{m{\pi}x}\,dx = \frac{\alpha_m}{2}
$$
※$${n}$$は全ての自然数を順にとるので、必ず$${n = m}$$となる瞬間がある。このときに限り積分は$${{\alpha_m}/{2}}$$の値をとり、他では0となる。
よって、$${n}$$と$${m}$$を置き換えれば
$$
\alpha_n = 2\int_0^1u_0(x)\sin{n{\pi}x}\,dx
$$
というように$${\alpha_n}$$が求められた。
全く同様に$${\beta_n}$$も求める。
$$
\left.\frac{{\partial}u(x, t)}{{\partial}t}\right|_{t=0} = \sum_{n = 1}^{\infin}\beta_{n}cn{\pi}\sin{n{\pi}x} = v_0(x)
$$
上式の両辺(中央と右)に$${\sin{m{\pi}x} (m \in \mathbb{N})}$$をかけて0から1まで$${x}$$について積分すると
$$
\int_0^1v_0(x)\sin{m{\pi}x}\,dx = \int_0^1\sum_{n = 1}^{\infin}\beta_n{c}n{\pi}\sin{n{\pi}x}\sin{m{\pi}x}\,dx = \frac{\beta_m{c}m{\pi}}{2}
$$
$$
\therefore \beta_n = \frac{2}{cn{\pi}}\int_0^1v_0(x)\sin{n{\pi}x}\,dx
$$
以上により、解は次のようになる。
$$
u(x, t) = \sum_{n = 1}^{\infin}\sin{n{\pi}x}(\alpha_n\cos{cn{\pi}t} + \beta_n\sin{cn{\pi}t})
$$
$$
\alpha_n = 2\int_0^1u_0(x)\sin{n{\pi}x}\,dx
$$
$$
\beta_n = \frac{2}{cn{\pi}}\int_0^1v_0(x)\sin{n{\pi}x}\,dx
$$