面白そうで面白くない、でもちょっと面白い確率の話

おはようございます。🐤

今日はコミュニティであったこんな話題に乗っかっていきたいと思います。

「『2,000人の会社なら30%の確率でDAOメンがいる』というのは 2,000人の会社が100社あったとしたら30社に1人DAOメンがいるってことですか？？」

背景

この話題の背景には、「たまたま町でDAOメンに出会った」という素敵な偶然の話がありました。

そこから、僕が「今ここにいるとなりの誰か」がDAOメンである確率はどれくらいなのかなって考えてこんなことをつぶやきました。

「日本の中で隣のあの人がNinjaDAOメンである確率は0.016%（結構高い？） 」

計算式：20,000（DAO内の推定日本人数）÷125,000,000人（日本の人口）＝0.016%

これではピンとこないので、仮に職場に100人いたとしたら、その職場の中に少なくとも一人のDAOメンがいる確率を求めてみたいと思います。実はこの計算って難しいんですよね。

隣の人も、その隣の人もDAOメンである確率は0.016%なんだから、0.016%を100回足せばいいのかな？ すると1.6%になります。そうですね、だいたいそんなくらいが正解の気がします。

その計算でいくと、職場に6,250人いたとしたら？（0.016 * 6250 = 100）
その職場にDAOメンは100%必ずいることになってしまいます。
ほんとうにそうなのでしょうか？

一人もいない確率を求める方が簡単

100%ってなんとなくおかしいですよね。偶然「一人もDAOメンがいない」ことだってあるはずです。

その直感は正しくて、こういう場合には「一人もいない確率」を求めて、1からその数値を引くのがわかりやすいやり方です。

1人がDAOメンではない確率＝99.984%

6250人ともDAOメンではない確率＝99.984% ^6250（0.99984の6250乗）
⇒36.78%

ということで、残りの約63.22%が「少なくとも一人はDAOメンがいる」確率になります。6250人いても、100%DAOメンがいるわけじゃないということです。ちょっと不思議な気もしますが、なんとなく正しそうです。

これは昨日の計算にも通じるものがありますね。⇒1/10の確率であたるのに、10回ひいてもぜんぶ外れになってしまう確率

同じクラスに同じ誕生日のペアがいる確率

ではでは、これは有名な？お話ですが、40人のクラスがあったとして、そこに同じ誕生日のペアがいる確率はいくらくらいだと思いますか？

「自分と同じ誕生日の人がいる確率」じゃないことがポイントで、誰でもいいから「同じ誕生日のペア」がいる確率です。

そうですね、ある人と同じ誕生日になる確率は1/365だから、それ×39で39/365＝10.7%くらいでしょうか？

答えはなんと約89.1%です。同じクラスにはほぼ9割くらいの確率で「同じ誕生日のペア」がいるのです。意外に思ったのではないでしょうか。

この計算の仕方は、「全員の誕生日が違う確率」を求めると簡単です。まず、ある人がいて、もう一人の人が違う誕生日である確率は364/365＝99.7%です。そして、さらにもう一人の人が違う誕生日である確率は、364/365 * 363/365という計算式になります。

この調子で39人やっていくと、364/365 * 363/365 * 362/365 * 361/365 * 360/365 ….326/365＝約10.9% となります。（Excelでやると簡単です）

ということで、少なくとも一組は同じ誕生日のペアがいる確率は約89.1%となるのです。

不思議に感じますけど、なんとなくそうかなと思います。これを納得させるよう手順を踏んでみます。

2人いて、2人とも違う誕生日である確率
⇒1（何月何日でも良い、仮に1月1日とする） * 364/365（1月1日を除く日）＝99.7%

3人いて、3人とも違う誕生日である確率
⇒1（仮に1月1日） * 364/365（仮に1月2日） * 363/365（1月1日と1月2日を除く日）＝99.2%

ここらへんまで、だいたい0.35%くらいずつ増えていそうですね、続けてみましょう。

10人いて、10人とも違う誕生日である確率
⇒1 * 364/365 * 363/365 * 362/365 * 361/365 * 360/365 * 359/365 * 358/365 * 357/365 * 356/365＝85.9%

だいぶ感覚とずれてきました。0.35%くらいだと思っていた「誕生日が同じになってしまう確率」がどんどん増えています。10人とも違う誕生日であったとすると、次の11人目で誕生日がかぶってしまう確率はなんと10/365＝2.7%にもなります。

20人いて、20人とも違う誕生日である確率
⇒58.9%

30人いて、30人とも違う誕生日である確率
⇒29.4%

39人いて、39人とも違う誕生日である確率
⇒12.2%

ここまで39人まで同じ誕生日がかぶらなかったとすると、次の40人目がかぶってしまう確率は39/365＝10.7%にもなってしまいます。このようにどんどん高い確率で同じ誕生日がかぶってしまうのです。

まとめ

そういえば僕が中三の時に、一度だけクラスに僕と同じ誕生日の子がいたことがあります。なんと生まれた時の病院のベッドが隣だったそうで、母親同士が友だちでした。もうこれは絶対運命の人だと思いずっと意識していました。

絶対運命の人なのに、なぜ僕たちの中は進展しないのだ？
まんがでは絶対に恋人同士になるはずなのに？

「僕たち同じ誕生日だからさ…、その、一緒に祝わない？ ﾄﾞｷﾄﾞｷ」
「え…うん、そうね…ﾄﾞｷﾄﾞｷ」

なんて声をかけることは自然で、とても簡単なはずです。それなのになぜ？ とずっと不思議に思い、ずっと考えた結果たどり着いたのが、この計算です。要するに、そこまで運命でもなかったのです。

いまでは簡単かもしれませんが、当時はネットの検索もなければ、エクセルもありませんでした。丸一日かかって計算したものです。

ということで、ちょっとでも確率のことに興味をもっていただけたらうれしいです。このブログを読んでいる人の中にも同じ誕生日の人はいるかも…。

それではまた、DeFi～(@^^)/~~~