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ウォリス積分をベータ関数とガンマ関数を利用して求める。
ウォリス積分
$${\displaystyle I_n=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^n x~dx~\Big(= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos ^n \theta~d\theta \Big)~(n=0,1,2,\cdots)}$$
の一般項は普通、$${I_n}$$の漸化式を立式して再帰的に計算して求めますね。ここでは、$${I_n}$$の一般項をベータ関数とガンマ関数を利用して求めてみます。(式変形の説明は省略します)
![](https://assets.st-note.com/img/1706699536197-JKtvYlmZVL.jpg?width=1200)
![](https://assets.st-note.com/img/1706699546502-EtVmbPQzbV.jpg?width=1200)
ウォリス積分を、ベータ関数を用いて計算しました。
— 大澤裕一 (@HirokazuOHSAWA) June 7, 2023
(リプに続きます) pic.twitter.com/Ts1Z9e45je
— 大澤裕一 (@HirokazuOHSAWA) June 7, 2023
理系の大学受験生は、ベータ関数やガンマ関数をきちんと学んだほうが良いでしょうね。大学入試のある種の積分計算を非常に短時間で出来るので…。
— 大澤裕一 (@HirokazuOHSAWA) June 7, 2023
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