期待値の問題（2024共通テスト）

[問題]
表の出る確率が$${\dfrac{1}{4}}$$のコインを$${k(\geqq 4)}$$回投げる。ちょうど$${3}$$連続で表が出る箇所の個数を$${U_k}$$とおく。このとき、$${U_k}$$の期待値$${E(U_k)}$$を$${k}$$の式で表せ。

上記は、2024年の大学入学共通テストの数学2・数学B本試験の第3問（統計的な推測）の中で扱われていた問題の表現を変更したものです。ただし、この問題そのものが直接問われたわけではありません（詳細は問題文をご確認ください）。面白い問題だと思うので、ぜひ取り組んでみてください。特に、2022年度から施行された学習指導要領（期待値の必修度合いが前課程よりも高まった）で高校数学を学ぶ高校生には、ぜひ考えてもらいたい1問です。略解は以下です。

「和の期待値=期待値の和」を用いています。この性質は、数学Bの「統計的な推測」で扱われるものであり、多くの期待値がこの性質により簡単に計算できます。また、大学以降の数理統計学などでもよく登場します。この性質を使って期待値を計算することにぜひ慣れておきましょう。

2024共通テスト数学II・数学Bの第3問で、以下の問題が出題されていました（表現を色々変更しています）。
数学Bの統計を既習の方は取り組んでみてください（特に現高2以下）。 pic.twitter.com/KcqskIvDDY

— 大澤裕一 (@HirokazuOHSAWA) January 14, 2024