2024名大理系前期大問4(2)を一発で解く

[問題]
袋から無作為に玉を一つ取り出して袋に戻す試行を行う。$${1}$$回の試行で赤玉を取り出す確率を$${p}$$とするとき、この試行を$${n}$$回行って、赤玉を$${k}$$回以上取り出す確率$${f(k)}$$が
　　　　　$${\displaystyle f(k)=\frac{n!}{(k-1)!(n-k)!}\int_{0}^p x^{k-1}(1-x)^{n-k}~dx}$$
となることを示せ。ただし、$${k=1,2,\cdots,n}$$とする。
（2024名古屋大理系前期大問4(2)（表現を変更））

数理統計学における、比較的有名な事実（二項分布とベータ分布の関係）に関する証明問題です。ぜひ考えてみてください。解答は、この下の原題の画像の下に載せます。

普通の証明は、
「右辺の定積分を部分積分の反復で計算し、$${f(k)}$$に一致することを示す」
だと思います（あるいは、この方法と実質的に同等だが、部分積分+数学的帰納法で示す）。

さて、この等式を「一発」で示すこともできます。一様分布と順序統計量を用います。

キレイに示せましたね！

数理統計学を学ぶと、大学受験数学のある種の確率の問題について、その背景を理解できたり、簡単に解く別方針を思いつけたりします！皆さん（特に高校数学の先生）もぜひ、数理統計学をしっかり学びませんか？

2024名古屋理系前期大問4(2)（リプに原題あり）は、次のように考えることで、一発で説明できます。（一様分布U(0,1)と順序統計量を用いる） pic.twitter.com/SutOsU8L78

— 大澤裕一 (@HirokazuOHSAWA) March 2, 2024