初めての微分の話

始めに

こんにちは。今日は$${n}$$次関数の微分についてお話しようと思います。$${n}$$次関数とは$${ f(x) = a \cdot x^n }$$で表せる関数のことです。ここで、$${ a }$$は定数であり、$${ n }$$は実数です。中学校では一次関数とか二次関数とかやってきたと思います。今日はそれの微分です。最後に練習問題もあるので頑張ってやっていきましょう。

微分の一般式

$${n}$$次関数（$${ f(x) = a \cdot x^n }$$）の微分の一般化式は次のように表せます。

$$
f'(x) = n \cdot a \cdot x^{n-1}
$$

この式は、$${n}$$次関数の微分法則に基づいています。$${ n \cdot a }$$は定数となり、$${ x^{n-1} }$$は$${n}$$次関数の指数から1を引いた形式です。

例えば、$${ f(x) = 3x^2 }$$の微分を求める場合は、$${ n = 2 }$$、$${ a = 3 }$$となります。したがって、$${ f'(x) = 2 \cdot 3 \cdot x^{2-1} = 6x }$$となります。
この一般化式を使って、$${n}$$次関数の微分を計算することができます。ただし、$${ n }$$や $${ a }$$が定数でなく、$${ x }$$に依存する場合は、また別の問題になるのでまた別の機会に。

練習問題

それでは練習問題です。下に答えがあるのでまずはスクロールしないで解いてみてください。

練習問題1:
次の関数を微分してください。
1) $${ f(x) = 2x^3 }$$
2) $${ g(x) = 5x^4 }$$
3) $${ h(x) = 4x^{-2} }$$

練習問題2:
次の関数を微分してください。
1) $${ f(x) = 3x^2 - 4x + 1 }$$
2) $${ g(x) = \frac{1}{2}x^3 - 2x^2 + 5x - 3 }$$

解答

それでは解答になります。

練習問題1:
1) $${ f'(x) = 6x^2 }$$
2) $${ g'(x) = 20x^3 }$$
3) $${ h'(x) = -8x^{-3} }$$

練習問題2:
1) $${ f'(x) = 6x - 4 }$$
2) $${ g'(x) = \frac{3}{2}x^2 - 4x + 5 }$$

終わりに

今日は$${n}$$次関数の微分についてお話してきました。特に理系の人はここから先非常に大切になってくるので頑張りましょう！