地球表面の座標系での運転方程式

回転する座標系には、遠心力とコリオリの力が働く。地球は自転しており、しかも実際の地球は球ではなく回転楕円体である。
この運動方程式の導出はわたしには非常にややこしく難しかった。
忘れないために記録を残す。

全体像と方針

方針として、慣性座標系OoXoYoZo を角速度ωで自転する回転座標系Oxyz(地球)に変換し、地心緯度(地球を球とした時の移動)λo回転したO’x’y’z’系に変換、さらに地表に向かって地球半径R平行移動したO”x”y”z”系に変換し、最後に回転楕円体(実際の地球の形)の表面に原点を持つ地理的緯度λの座標系O’’’x’’’y’’’z’’’系に変換する。

１．Oxy系の運動方程式

慣性座標系を原点を中心にωt回転させる。

第2項：コリオリの力は、運動方向右向き
第3項：遠心力は、原点から遠ざかる方向

２．O’x’y’z’系への変換

Oxyz系を（π/2-λo）だけ回転させる。

力X,Yも回転することに注意

３．O”x”y”z”系への変換

z’,z”方向への平行移動、移動距離はR(地球の半径)である。

回転しないので、力X’、Y’、Z’ は変化なし

ここで、値の著しく小さい項を０とする。

ω^2 を掛けた項の大きさの比較

x=y=100m ,  R=6.5*10^7m とした

さらに、mRω^2の入った項を置き換える。

４．O’’’x’’’y’’’z’’’系への変換

回転楕円体上での座標系に変換する。球体上の座標系からδ 回転する。

力X“、Z” も回転する

このあとmgo sinδ、mgo cosδ について考える。

最後に

回転の行列、逆行列を駆使して各座標、各力を変換する技、２つの式にそれぞれsin,cos を掛けて足し合わせてd2x/dt2 を出す技が何度も出てくる。
３で行った著しく小さい頃を０とする小細工、mg、mgo の導入など、どのタイミングでするかの判断は結構悩ましかった。
わたしにはかなりきつかったが、試行錯誤して少しは賢くなったということにしておこう。