Hamiltonの原理、最小作用の原理

Hamiltonの原理と最小作用の原理は同じものだと思っていたが、厳密には両者は異なるものだった。同じものとして扱っている資料も多くあり、ごっちゃになっていた。以下に整理する。

１ Hamiltonの原理

質点系が時刻$${t_1}$$から$${t_2}$$の間に状態$${P_1}$$から$${P_2}$$に$${C}$$という道すじを通って移動したとする。任意の時刻における$${C}$$上の点$${P(x_i,y_i,z_i)}$$に対応する仮想変位の道すじ$${C'}$$上の点$${P'}$$の位置を$${({x_i}',{y_i}',{z_i}')}$$とする。

２つの道すじ$${C}$$と$${C'}$$の運動エネルギーの積分の差を求める。
　$${\delta\displaystyle\int_{t_1}^{t_2}Tdt=\displaystyle\int_{t_1}^{t_2}\delta Tdt}$$
　　$${=\displaystyle\int_{t_1}^{t_2}\delta\sum_{i=1}^f\Big(\dfrac{1}{2}m_i\dot{x_i^2}+\dfrac{1}{2}m_i\dot{y_i^2}+\dfrac{1}{2}m_i\dot{z_i^2}\Big)dt}$$
　　$${=\displaystyle\int_{t_1}^{t_2}\dfrac{1}{2}\sum_{i=1}^f m_i\delta(\dot{x_i^2}+\dot{y_i^2}+\dot{z_i^2})dt}$$
　　$${=\displaystyle\int_{t_1}^{t_2}\dfrac{1}{2}\sum_{i=1}^f m_i\Big\{\dfrac{\partial}{\partial\dot{x_i}}(\dot{x_i^2}+\dot{y_i^2}+\dot{z_i^2})\delta\dot{x_i}}$$
　　　　　　　　　　$${+\dfrac{\partial}{\partial\dot{z_i}}(\dot{x_i^2}+\dot{y_i^2}+\dot{z_i^2})\delta\dot{y_i}+\dfrac{\partial}{\partial\dot{z_i}}(\dot{x_i^2}+\dot{y_i^2}+\dot{z_i^2})\delta\dot{z_i}\Big\}dt}$$
　　$${=\displaystyle\int_{t_1}^{t_2}\sum_{i=1}^f m_i(\dot{x_i}\delta\dot{x_i}+\dot{y_i}\delta\dot{y_i}+\dot{z_i}\delta\dot{z_i})dt}$$
　　$${=\displaystyle\int_{t_1}^{t_2}\sum_{i=1}^f m_i\Big\{\dot{x_i}\dfrac{d}{dt}(\delta{x_i})+\dot{y_i}\dfrac{d}{dt}(\delta{y_i})+\dot{z_i}\dfrac{d}{dt}(\delta{z_i})\Big\}dt}$$
　　$${=\Big[\displaystyle\sum_{i=1}^f m_i(\dot{x_i}\delta x_i+\dot{y_i}\delta y_i+\dot{z_i}\delta z_i)\Big]_{t_1}^{t_2}}$$
　　　　　　　　　　$${-\displaystyle\int_{t_1}^{t_2}\sum_{i=1}^f m_i(\ddot{x_i}\delta{x_i}+\ddot{y_i}\delta{y_i}+\ddot{z_i}\delta{z_i})dt}$$
　　$${=-\displaystyle\int_{t_1}^{t_2}\sum_{i=1}^f m_i(\ddot{x_i}\delta{x_i}+\ddot{y_i}\delta{y_i}+\ddot{z_i}\delta{z_i})dt}$$
　　　　　　d'Lambertの原理
　　　　　　$${\displaystyle\sum_{i=1}^f\{(X_i-m_i\ddot{x_i})\delta{x_i}+(Y_i-m_i\ddot{y_i})\delta{y_i}+(Z_i-m_i\ddot{z_i})\delta{z_i}\}=0}$$
　　　　　　$${\displaystyle\sum_{i=1}^fm_i(\ddot{x_i}\delta{x_i}+\ddot{y_i}\delta{y_i}+\ddot{z_i}\delta{z_i})=\sum_{i=1}^f(X_i\delta{x_i}+Y_i\delta{y_i}+Z_i\delta{z_i})}$$
　　　　　　を代入
　　$${=-\displaystyle\int_{t_1}^{t_2}\sum_{i=1}^f (X_i\delta{x_i}+Y_i\delta{y_i}+Z_i\delta{z_i})dt}$$
　　$${=-\displaystyle\int_{t_1}^{t_2}\delta'W dt}$$
よって
　$${\displaystyle\int_{t_1}^{t_2}(\delta T+\delta'W)dt=0}$$　(1)
質点に働く力がポテンシャル$${U}$$から引き出されるとき　$${\delta'W=-\delta U}$$
(1)に代入すると
　$${\displaystyle\int_{t_1}^{t_2}(\delta T-\delta U)dt=0}$$
$${T-U=\mathscr{L}}$$として
　$${\displaystyle\delta\int_{t_1}^{t2}\mathscr{L}dt=0}$$
つまり、運動はLagrangianの時間積分が最小になるように起こる。
このことをHamiltonの原理という。

２ 最小作用の原理

１つの体系が時刻$${t_1}$$から$${t_2}$$の間に位置$${P_1}$$から$${P_2}$$に$${C}$$という道すじを通って運動したとする。この運動に対する時刻$${t_1}$$から$${t_2'}$$の間の仮想変位の運動を考える。これらの力学的エネルギー（$${E=T+U}$$）は保存されているとする。

　経路$${C}$$上$${P}$$で時間$${dt}$$の間に$${dx_i}$$移動
　経路$${C'}$$上$${P'}$$で時間$${dt'}$$の間に$${dx_i'(=dx+\delta x_i)}$$移動
　$${t'=t+\delta t}$$　
　$${\dfrac{dt'}{dt}=1+\dfrac{d(\delta t)}{dt}}$$　(1)
　×$${dt}$$
　$${dt'=dt+d(\delta t)}$$　(2)
　$${\dfrac{dt}{dt'}=\dfrac{dt}{dt+d(\delta t)}=\dfrac{dt+d(\delta t)-d(\delta t)}{dt+d(\delta t)}=1-\dfrac{d(\delta t)}{dt+d(\delta t)}}$$　(3)

$${P(t)}$$と$${P'(t')}$$における速度の差$${\delta\ddot{x_i}}$$を求める。
　$${\delta\dot{x_i}=\delta\Big(\dfrac{dx_i}{dt}\Big)=\dfrac{dx_i'}{dt'}-\dfrac{dx_i}{dt}=\dfrac{d(x_i+\delta x_i)}{dt}\dfrac{dt}{dt'}-\dfrac{dx_i}{dt}}$$
　　　$${=\Big\{\dfrac{dx_i}{dt}+\dfrac{d(\delta{x_i})}{dt}\Big\}\dfrac{dt}{dt'}-\dfrac{dx_i}{dt}=\dfrac{dx_i}{dt}\dfrac{dt}{dt'}+\dfrac{d(\delta{x_i})}{dt'}-\dfrac{dx_i}{dt}}$$
　　　$${=\dfrac{dx_i}{dt}\Big(\dfrac{dt}{dt'}-1\Big)+\dfrac{d(\delta{x_i})}{dt'}}$$　　← (2)(3)を代入
　　　$${=\dfrac{dx_i}{dt}\Big(1-\dfrac{d(\delta x_i)}{dt+d(\delta x_i)}-1\Big)+\dfrac{d(\delta{x_i})}{dt+d(\delta t)}}$$
　　　$${=-\dfrac{dx_i}{dt}\Big(\dfrac{d(\delta x_i)}{dt+d(\delta x_i)}\Big)+\dfrac{d(\delta{x_i})}{dt+d(\delta t)}}$$　← $${dt+d(\delta t)\approx dt}$$
　　　$${=-\dfrac{dx_i}{dt}\dfrac{d(\delta x_i)}{dt}+\dfrac{d(\delta{x_i})}{dt}=-\dot{x_i}\dfrac{d(\delta x_i)}{dt}+\dfrac{d(\delta{x_i})}{dt}}$$　(4.1)
同様に
　　$${\delta\dot{y_i}=-\dot{y_i}\dfrac{d(\delta y_i)}{dt}+\dfrac{d(\delta{y_i})}{dt}}$$　(4.2)
　　$${\delta\dot{z_i}=-\dot{z_i}\dfrac{d(\delta z_i)}{dt}+\dfrac{d(\delta{z_i})}{dt}}$$　(4.3)

２つの道すじ$${C}$$と$${C'}$$の運動エネルギーの積分の差を求める。
　$${\delta\displaystyle\int_{t_1}^{t_2}Tdt=\displaystyle\int_{t_1}^{t_2}T'dt'-\displaystyle\int_{t_1}^{t_2}Tdt}$$　　←$${T'=T+\delta T}$$と(1)を代入
　　　$${=\displaystyle\int_{t_1}^{t_2}(T+\delta{T})\Big\{1+\dfrac{d(\delta{t})}{dt}\Big\}dt-\displaystyle\int_{t_1}^{t_2}Tdt}$$
　　　$${=\displaystyle\int_{t_1}^{t_2}\Big\{T+{T}\dfrac{d(\delta{t})}{dt}+\delta{T}+\delta{T}\dfrac{d(\delta{t})}{dt}-T\Big\}dt}$$
　　　$${=\displaystyle\int_{t_1}^{t_2}{T}d(\delta{t})+\displaystyle\int_{t_1}^{t_2}\delta{T}dt+\displaystyle\int_{t_1}^{t_2}\delta{T}d(\delta{t})}$$　　← 第3項$${\approx0}$$
　　　$${=\displaystyle\int_{t_1}^{t_2}{T}d(\delta{t})+\displaystyle\int_{t_1}^{t_2}\delta{T}dt}$$　(5)
　$${\displaystyle\int_{t_1}^{t_2}\delta{T}dt=\displaystyle\int_{t_1}^{t_2}\delta\Big\{\sum_{i=1}^f\dfrac{1}{2}m_i(\dot{x_1}^2+\dot{y_1}^2+\dot{z_1}^2)\Big\}dt}$$
　　　$${=\displaystyle\int_{t_1}^{t_2}\dfrac{1}{2}\sum_{i=1}^fm_i\Big\{\dfrac{\partial}{\partial\dot{x_i}}(\dot{x_1}^2+\dot{y_1}^2+\dot{z_1}^2)\delta{\dot{x_i}}}$$
　　　　　　$${+\dfrac{\partial}{\partial\dot{y_i}}(\dot{x_1}^2+\dot{y_1}^2+\dot{z_1}^2)\delta{\dot{y_i}}+\dfrac{\partial}{\partial\dot{z_i}}(\dot{x_1}^2+\dot{y_1}^2+\dot{z_1}^2)\delta{\dot{z_i}}\Big\}dt}$$
　　　$${=\displaystyle\int_{t_1}^{t_2}\sum_{i=1}^fm_i(\dot{x_1}\delta\dot{x_i}+\dot{y_i}\delta\dot{y_i}+\dot{z_i}\delta\dot{z_i})dt}$$　　← (4.1)(4.2)(4.3)を代入
　　　$${=\displaystyle\int_{t_1}^{t_2}\sum_{i=1}^fm_i\Big[\dot{x_1}\Big\{-\dot{x_i}\dfrac{d(\delta t)}{dt}+\dfrac{d(\delta{x_i})}{dt}\Big\}}$$
　　　　　　$${+\dot{y_1}\Big\{-\dot{y_i}\dfrac{d(\delta t)}{dt}+\dfrac{d(\delta{y_i})}{dt}\Big\}+\dot{z_1}\Big\{-\dot{z_i}\dfrac{d(\delta t)}{dt}+\dfrac{d(\delta{z_i})}{dt}\Big\}\Big]dt}$$
　　　$${=-\displaystyle\int_{t_1}^{t_2}\sum_{i=1}^fm_i(\dot{x_1}^2+\dot{x_1}^2+\dot{x_1}^2)d(\delta t)}$$
　　　　　　$${+\displaystyle\int_{t_1}^{t_2}\sum_{i=1}^fm_i\Big\{\dot{x_i}\dfrac{d(\delta{x_i})}{dt}+\dot{y_i}\dfrac{d(\delta{y_i})}{dt}+\dot{z_i}\dfrac{d(\delta{z_i})}{dt}\Big\}dt}$$
　　　$${=-\displaystyle\int_{t_1}^{t_2}2\sum_{i=1}^f\dfrac{1}{2}m_i(\dot{x_1}^2+\dot{x_1}^2+\dot{x_1}^2)d(\delta t)}$$
　　　　　　$${+\Big[\displaystyle\sum_{i=1}^fm_i(\dot{x_i}\delta{x_i}+\dot{y_i}\delta{y_i}+\dot{z_i}\delta{z_i})\Big]_{t_1}^{t_2}}$$
　　　　　　　　$${-\displaystyle\int_{t_1}^{t_2}\sum_{i=1}^fm_i(\ddot{x_i}\delta{x_1}+\ddot{y_i}\delta{y_1}+\ddot{z_i}\delta{z_1})dt}$$
　　　　　　　　　　　　　　　← $${\displaystyle\sum_{i=1}^f\dfrac{1}{2}m_i(\dot{x_1}^2+\dot{x_1}^2+\dot{x_1}^2)=T}$$
　　　　　　　　　　　　　　　　  第２項=0
　　　　　　　　　　　　　　　　  $${m_i\ddot{x_i}=X_i}$$､$${m_i\ddot{y_i}=Y_i}$$､$${m_i\ddot{z_i}=Z_i}$$
　　　$${=-\displaystyle\int_{t_1}^{t_2}2Td(\delta t)-\displaystyle\int_{t_1}^{t_2}\sum_{i=1}^f(X_i\delta{x_1}+Y_i\delta{y_1}+Z_i\delta{z_1})dt}$$
　　　　　　　　　　　　　　　← $${X_i}$$､$${Y_i}$$､$${Z_i}$$が保存力のとき
　　　　　　　　　　　　　　　　$${\displaystyle\sum_{i=1}^f(X_i\delta{x_1}+Y_i\delta{y_1}+Z_i\delta{z_1})=-\delta U}$$
　　　$${=-\displaystyle\int_{t_1}^{t_2}2Td(\delta t)+\displaystyle\int_{t_1}^{t_2}\delta Udt}$$
　　　　　　　　　　　　　　　← $${T+U=E}$$、$${\delta T+\delta U=0}$$
　　　　　　　　　　　　　　　　よって $${\delta U=-\delta T}$$
　　　$${=-\displaystyle\int_{t_1}^{t_2}2Td(\delta t)-\displaystyle\int_{t_1}^{t_2}\delta Tdt}$$
よって
　$${\displaystyle\int_{t_1}^{t_2}\delta{T}dt+\displaystyle\int_{t_1}^{t_2}Td(\delta t)=0}$$
これを(5)$${\delta\displaystyle\int_{t_1}^{t_2}Tdt=\displaystyle\int_{t_1}^{t_2}{T}d(\delta{t})+\displaystyle\int_{t_1}^{t_2}\delta{T}dt}$$に代入すると
すなわち
　$${\delta\displaystyle\int_{t_1}^{t_2}Tdt==0}$$
質点に保存力が働く系において$${\displaystyle\int_{t_1}^{t_2}Tdt}$$は停留値を取る。これを最小作用の原理という。