from Newton's 2nd law to Lagrange's and Hamilton's eqution

Newton's 2nd law　$${\sum X_i=m_i\ddot{x_i}}$$　　
　　　　　　　　　$${\sum Y_i=m_i\ddot{y_i}}$$
　　　　　　　　　$${\sum Z_i=m_i\ddot{z_i}}$$
  d'Lambert's principle ↓
　　　　　　　　　$${\sum X_i+(-m_i\ddot{x_i})=0}$$　　as ploblem of statics
　　　　　　　　　$${\sum Y_i+(-m_i\ddot{y_i})=0}$$
　　　　　　　　　$${\sum Z_i+(-m_i\ddot{z_i})=0}$$
　　　　　　　　　　↓ principle of virtual displacement
Lagrange's variatioal equation
　$${\sum \{(X_i-m_i\ddot{x_i})\delta x_i+(Y_i-m_i\ddot{y_i})\delta y_i+(Z_i-m_i\ddot{z_i})\delta z_i\}=0}$$
　　　when force is conservative force
　　　$${X_i=-\dfrac{\partial U}{\partial x_i}}$$､$${Y_i=-\dfrac{\partial U}{\partial y_i}}$$､$${Z_i=-\dfrac{\partial U}{\partial z_i}}$$
　　　$${\sum m_i(\ddot{x_i}\delta x_i+\ddot{y_i}\delta y_i+\ddot{z_i}\delta z_i)=-\delta U}$$
　　　　　　　　　　↓ as variational representation
Hamilton's principle
　$${\displaystyle\int_{t_1}^{t_2}(\delta T+\delta'W)dt=0}$$　　
　　　when force is conservative force　　　　　principle of least action
　$${\delta\displaystyle\int_{t_1}^{t_2}\mathscr{L}dt=0}$$、$${\mathscr{L}=T-U}$$　　　　　　　　$${\delta\displaystyle\int_{t_1}^{t_2}2Tdt=0}$$
　　　　　　　　　　↓ 
Lagrange's equation of motion
　$${\dfrac{d}{dt}\Big(\dfrac{\partial\mathscr{L}}{\partial\dot{q_i}}\Big)-\dfrac{\partial\mathscr{L}}{\partial{q_i}}=0}$$
　　　　　　　　　　↓ 
Lejendre transformation　　　　　　in general
　$${\mathscr{H}=\sum\dot{p}q-\mathscr{L}}$$　　　　　　　　$${g\Big(\dfrac{\partial f}{\partial x},y\Big)=\dfrac{\partial f}{\partial x}x-f(x,y)}$$
　　　　　　　　　　↓ 
Hamilton's cannonical eqation
　$${\dfrac{dq_i}{dt}=\dfrac{\partial\mathscr{H}}{\partial p_i},         \dfrac{dp_i}{dt}=-\dfrac{\partial\mathscr{H}}{\partial q_i}}$$
　　　　　　　　　　↓ 
cannonical transformation 
　i) $${W=W_1(\{q_i\},  \{Q_i\},  t)}$$　　　　　　ii) $${W=W_2(\{q_i\},\{P_i\},t)}$$
　　$${p_i=\dfrac{\partial W_1}{\partial q_i},      P_i=-\dfrac{\partial W_1}{\partial Q_i}}$$　　　　　　$${p_i=\dfrac{\partial W_2}{\partial q_i},      Q_i=\dfrac{\partial W_2}{\partial P_i}}$$
　iii) $${W=W_3(\{p_i\},\{Q_i\},t)}$$　　　　　　iv) $${W=W_4(\{p_i\},\{P_i\},t)}$$
　　$${q_i=-\dfrac{\partial W_3}{\partial p_i},      P_i=-\dfrac{\partial W_3}{\partial Q_i}}$$　　　　　$${q_i=-\dfrac{\partial W_4}{\partial p_i},      Q_i=\dfrac{\partial W_4}{\partial P_i}}$$

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　→ 力学､物理数学の目次へ