【院試解答】東大院 工学系 数学 2023年度 第6問【電信過程】

東京大学大学院 工学系研究科の入試過去問の解答例です．2023年度の数学（一般教育科目）第6問について解答・解説します．問題は研究科のWebサイトから見ることができます．

一般入試

問題PDF

この解答例は大学院・研究科に認められたものではありません．正確性についての保証は致しかねます．

I

解答

$${T_0}$$の期待値$${E[T_0]}$$は

$$
\begin{aligned}
E[T_0]
&=\int_0^\infty tf_0(t)\mathrm{d}t\\
&=\int_0^\infty t\lambda_0 e^{-\lambda_0 t}\mathrm{d}t\\
&=-\int_0^\infty t\left(e^{-\lambda_0 t}\right)'\mathrm{d}t\\
&=-\left[te^{-\lambda_0 t}\right]_0^\infty+\int_0^\infty 1\cdot\left(e^{-\lambda_0 t}\right)\mathrm{d}t\\
&=-(0-0)+\left[-\frac{e^{-\lambda_0 t}}{\lambda_0}\right]_0^\infty\\
&=0-\left(-\frac{1}{\lambda_0}\right)\\
\end{aligned}
$$

$$
\therefore E[T_0]=\frac{1}{\lambda_0}\tag{答}
$$

である．

また，$${T_0}$$の分散$${V[T_0]}$$は

$$
V[T_0]=E[T_0^2]-(E[T_0])^2
$$

である．ここで

$$
\begin{aligned}
E[T_0^2]
&=\int_0^\infty t^2f_0(t)\mathrm{d}t\\
&=\int_0^\infty t^2\lambda_0 e^{-\lambda_0 t}\mathrm{d}t\\
&=-\int_0^\infty t^2\left(e^{-\lambda_0 t}\right)'\mathrm{d}t\\
&=-\left[t^2e^{-\lambda_0 t}\right]_0^\infty+\int_0^\infty 2t\cdot\left(e^{-\lambda_0 t}\right)\mathrm{d}t\\
&=-(0-0)+\frac{2}{\lambda_0}\int_0^\infty t\lambda_0 e^{-\lambda_0 t}\mathrm{d}t\\
&=\frac{2}{\lambda_0}E[T_0]\\
&=\frac{2}{\lambda_0^2}
\end{aligned}
$$

であるから

$$
\begin{aligned}
V[T_0]
&=\frac{2}{\lambda_0^2}-\left(\frac{1}{\lambda_0}\right)^2\\
&=\frac{1}{\lambda_0^2}
\end{aligned}
$$

となる．よって，$${T_0}$$の標準偏差は，$${\lambda_0\gt 0}$$より

$$
\sqrt{V[T_0]}=\frac{1}{\lambda_0}\tag{答}
$$

である．

解説

指数分布の期待値と標準偏差を計算する問題です．部分積分により求めることができます．