数Ⅱ　第1章　二項定理

どうもゲネスです。
はじめての投稿ってなって｢いきなり数Ⅱから！？ ｣って思ったと思います。
大丈夫です。 数Ⅰの分野もあげていけたら(そのうち・・・)と思います。

そもそも数Ⅱって何習うの？

数Ⅱは数Ⅰと比べて、習う内容も、かなりボリュームが増し、難易度も分野によっては難しいところもでてくると思います。
数Ⅱで習う分野を軽く紹介します。
第1章　式と証明
第2章　複素数と方程式
第3章　図形と方程式
第4章　三角関数
第5章　指数関数と対数関数
第6章　微分法と積分法
といった内容です。 この中で一番最初に習う、第1章の中の｢二項定理｣について、説明していきたいと思います。

3次の乗法公式

まず最初に習うのは、3次の乗法公式です。 以下の式は展開の公式ですが、右の式から左の式にする因数分解の式も合わせて覚えていきましょう。

$$
\begin{aligned}
& (a+b)^{3}=a^{3}+3 a^{2} b+3 a b^{2}+b^{3}　① \\
& (a-b)^{3}=a^{3}-3 a^{2} b+3 a b^{2}-b^{3} 　②\\
& (a+b)\left(a^{2}-a b+b^{2}\right)=a^{3}+b^{3}  　 ③ \\
& (a-b)\left(a^{2}+a b+b^{2}\right)=a^{3}-b^{3}         ④ 
\end{aligned}
$$

数Ⅰでもしかしたらみたことあるかもしれません。
その中でも覚えにくいのは、③と④かなとも思います。
特に因数分解におけるコツとしては、
③の場合　前がプラス　後ろの真ん中の項がマイナス
④の場合　前がマイナス　後ろの真ん中の項がプラス
どちらとも、最後の項の符号はプラス
というふうに覚えるといいかもしれません。

二項定理

$$
(a+b)^{n}={ }{n} C{0}a^{n}+{ }{n} C{1} a^{n-1} b+{ }{n}C{2}a^{n-2} b^{2}+\cdots+{ }{n} C{r} a^{n-r} b^{r}+\cdots+{ }{n} C{n-1} a b^{n-1}+{ }{n} C{n} b^{n}
$$

$${(a+b)^{n}}$$ の一般項は$${ { }{n} C{r} a^{n-r} b^{r}(r=0,1,2 \cdots n)}$$ と表される。

また$${a^{0}=1, b^{0}=1}$$ である。

すごく長い公式がでましたね。正直この公式をまんまと覚えるとどういう意味かさっぱりかと思うので、ざっとどういう意味か説明します。
先ほど、3乗の乗法公式を紹介しました。
まだ、3乗ならまだ覚えれると思います。なら4乗ならどうなるでしょう？
$${a^{2} b^{2}, a b^{3}, a^{3} b, a^{4}, b^{4}}$$ の項が生まれるので、項は全部で 4 つできることになります。

しかし、項の係数はどうなるでしょうか ?

そこででてくるのが、数 A に出てきた、C（組み合わせ）です。

復習しておくと、組み合わせとは、○個の中から、△個選んだとき、組み合わせとしては 。$${ { }{○} C{△}}$$ 通りである。という風に学びました。

先ほどの 3 乗の公式のなかに$${a^{2} b や a b^{2}}$$ の項の係数は 3 になっています。

これは、 $${a, a, b とあったときに、b に着目すると、 b は 3 個のうち、 1 つ選ぶ組み合わせは { }{3} C{1}=3}$$ なので、係数は 3 となります。

なので、3 乗の公式において、二項定理の式に当てはめると、

$$
\begin{aligned}
(a+b)^{3} & ={ }{3} C{0} a^{3}+{ }{3}C{1} a^{3-1} b+{ }{3} C{2} a^{3-2} b^{2}+{ }{3} C{3} b^{3} \\
& =a^{3}+3 a^{2} b+3 a b^{2}+b^{3}
\end{aligned}
$$

という感じになるということです。

一般項というのは、二項定理のなかの一部を切り取ったものです。

問題として出されるのは一般項の係数を求めるものが多いので、C（組み合わせ）の復習をもう一度しておきましょう。

多項定理

3つ以上の文字があるときは、二項定理の一般項の式を用いてもいいですが、多項定理というものを用いて一般項の係数を求めたほうがいいという場合もあるので、紹介しておきます。

$${(a+b+c)^{n} の展開式における一般項は、 \frac{n !}{p ! q ! r !} a^{p} b^{q} c^{r}(p+q+r=n)}$$
である。

原理としては、二項定理とほぼ変わらないです。
ただ3つあるので、3つの累乗の数の合計がnになること条件が追加されました。

まとめ

以上、二項定理や3次の乗法公式について説明しました。
はじめての投稿もあり、まだ見慣れなところもあると思いますが、
ぜひ読んでくださると幸いです。
また、間違っているところもあると思うので、詳しくは学校の教科書とかYoutubeの動画なども参考にご覧ください。
また、今後に繋げていきたいので、改善点とかあればぜひコメントにて書いてほしいです。

それではまた