Spinoza Note 26: [定理12] 実体は分割できない

定理12を検討する。Spinoza の証明を（細かい点で）一部修正する必要がある。

Nullum substantiæ attributum potest verè concipi, ex quo sequatur, substantiam posse dividi.

Eliot訳：No attribute of substance can be truly conceived from which it would
follow that substance can be divided.
Elwes訳：No attribute of substance can be conceived from which it would follow that substance can be divided.
畠中訳：ある実体をその属性のゆえに分割可能であるとするような考え方は、実体のいかなる属性についてもあてはまらない。
高桑訳：ある実体の属性を理解するに当たって、実体が分割できるものであるかのように考えるとすれば、そういう理解の仕方は正しいとはいえない。
粗訳：実体が分割できることを示す属性は把握されない（要するに「実体は分割できない」）

証明が込み入っている。定理 8, 6, 5, 6, 2を参照し、それから定義4 & 定理10を参照する（最初の方だけ検証する）。次に定理7をみるという流れだ。まず証明する定義12を論理式に翻訳する。Jarrettは次のようにしている。実体 x は y と z に分割できないという簡潔な解釈だ。「把握されない」の意味に拘らず、素直にJarrettの解釈に従う。　

∀x. ∀y. ∀z. [ is-substance( x ) ⇒ ￢ divisible-to( x, y, z ) ] 

証明は背理法であり、上の式の否定形を仮定すると矛盾に至ることを示す。以下がその仮定である。実体 x が y と z に分割できることを表現する。

∀x. ∀y. ∀z. [ is-substance( x ) ∧ divisible-to( x, y, z )

実体を分割したとき、分割の結果生じたものが（1）性質を保持するのか、（2）失われるのかの二通りが考えられる。順番にみていこう。まず（1）の場合から検討する。分割の結果生じる  y と z が共に実体 x の性質を引き継ぐなら、両者は無限で（定理8）、自己原因であり（定理6）、互いに属性が異なる（定理5）。

∀x. ∀y. ∀z. [ is-substance( x ) ∧ divisible-to( x, y, z ) ⇒
( y ≠ z ) ∧
 is-infinite( y ) ∧    is-cause-of( y, y ) ∧ Att_y ≠ Att_x  ∧  Att_y ≠ Att_z  ∧
 is-infinite( z ) ∧    is-cause-of( z, z ) ∧ Att_z ≠ Att_x  ]

論理的に、この式の後件を前件から導けない。分割によって生じるものが実体 x の性質を保持するならこのようになるが、正当な理由を欠くので、本来は公理とすべきところだ。しかし Spinoza は自明のこととして先を急ぐ。

上の式の後件は、y と z が実体であることを意味する。実体 x の性質を引き継いでいるのから当然だし、同語反復だが、Spinoza は意に介さない。堂々と is-substance( y ) と is-substance( z ) を後件に追加する。（場所を節約するため is-infinite( y ) と is-infinite( z )を省略する）

∀x. ∀y. ∀z. [ is-substance( x ) ∧ divisible-to( x, y, z ) ⇒
( y ≠ z ) ∧
is-substance( y ) ∧    is-cause-of( y, y ) ∧ Att_y ≠ Att_x  ∧  Att_y ≠ Att_z  ∧
is-substance( z ) ∧    is-cause-of( z, z ) ∧ Att_z ≠ Att_x  ]

要点を概観するため、必要なところだけを抜き出す：

∀x. ∀y. ∀z. [ is-substance( x ) ∧ divisible-to( x, y, z ) ⇒
( y ≠ z ) ∧  is-substance( y ) ∧  is-substance( z ) ]

ji

実体 x を分割したことで、ほかの実体 y と z が生じた。これは定理6と矛盾する。定理6「一つの実体は、他の実体から産み出されることは出来ぬ」（高桑訳）　このまま矛盾に至ることを示せれば証明が完遂する。

証明を続ける。定理6を翻訳した論理式を使って、後件の " ( y ≠ z ) ∧
is-substance( y ) ∧ is-substance( z ) " を別の式に置き換える：

∀x. ∀y. ∀z. [ is-substance( x ) ∧ divisible-to( x, y, z ) ⇒
￢ is-cause-of( y, z ) ∧ ￢ is-cause-of( z, y ) ∧
is-cause-of( y, y ) ∧ Att_y ≠ Att_x  ∧  Att_y ≠ Att_z  ∧
is-cause-of( z, z ) ∧ Att_z ≠ Att_x  ]

特に問題がない。矛盾に至らない。さて、困った。どこで間違っただろうか。「分割の結果生じる  y と z が共に実体 x の性質を引き継ぐなら、両者は無限で（定理8）、自己原因であり（定理6）、互いに属性が異なる（定理5）」というところまで戻ろう。「自己原因であり（定理6）」が怪しい。分割の結果生じる  y と z の間に因果関係がある。なぜなら

y = x - z
z = x - y

という関係にあって、z の多寡が y に影響し、 y の多寡が z に影響するからだ。ゆえに「自己原因である」という条件を修正する。結果は次の通り：

∀x. ∀y. ∀z. [ is-substance( x ) ∧ divisible-to( x, y, z ) ⇒
( y ≠ z ) ∧ 
is-infinite( y ) ∧    is-cause-of( z, y ) ∧ Att_y ≠ Att_x  ∧  Att_y ≠ Att_z  ∧
is-infinite( z ) ∧    is-cause-of( y, z ) ∧ Att_z ≠ Att_x  ]

この式に再度、定理6を適用すると次のようになる：

∀x. ∀y. ∀z. [ is-substance( x ) ∧ divisible-to( x, y, z ) ⇒
￢ is-cause-of( y, z ) ∧ ￢ is-cause-of( z, y ) ∧
is-cause-of( z, y ) ∧ Att_y ≠ Att_x  ∧  Att_y ≠ Att_z  ∧
is-cause-of( y, z ) ∧ Att_z ≠ Att_x  ]

上の式で、" ￢ is-cause-of( y, z ) " と " is-cause-of( y, z ) " が、また " ￢ is-cause-of( z, y ) " と " is-cause-of( z, y ) " が互いに矛盾する。よって証明が完了した。

長引いたが、次に（2）分割の結果、実体の性質を失う場合を検討する。生じたものは実体でなくなるか、あるいは（実体であったとしても）何者をも産み出さなくなる。そのことを次のような論理式に翻訳する：

∀x. ∀y. ∀z. [ is-substance( x ) ∧ divisible-to( x, y, z ) ⇒
           ( ￢ is-substance( y )  V  ￢ ∃v. is-in( v, y ) ) ∧
           ( ￢ is-substance( z )  V  ￢ ∃w. is-in( w, z ) ) ]

では順番に証明していこう。これも右辺に矛盾を生じさせる。定理7を使うと Spinoza がいうので、論理式への翻訳を復習する：定理7「事物を生じさせるのは substance の摂理である」

∀y. ∃x. [ is-substance( y ) ∧ is-in( x, y ) ]  

この式を参照できるよう、式の後件を変換する：

 ∀y. ∀z. ∃v. ∃w. [
( ￢ is-substance( y ) V ￢ is-in( v, y ) ) ∧
( ￢ is-substance( z ) V ￢ is-in( w, z ) ) ]

 ∀y. ∀z. ∃v. ∃w.[
￢ ( is-substance( y )  ∧  is-in( v, y ) ) ∧
￢ ( is-substance( z ) ∧  is-in( w, z ) ]

定理7が無条件に成り立つので、定理7の式を追加する。

 ∀y. ∀z. ∃v. ∃w.[
￢ ( is-substance( y )  ∧  is-in( v, y ) ) ∧  ( is-substance( y )  ∧  is-in( v, y ) ) ∧
￢ ( is-substance( z ) ∧  is-in( w, z )  ∧ ( is-substance( z ) ∧  is-in( w, z ) ]

これは以下の形をしているので、矛盾である。ゆえに証明を完遂した。

￢ P ∧  P ∧
￢ Q ∧ Q 

以上より、証明したい定理12の否定形を仮定すると、いずれの場合も矛盾に導かれることを確認した。「いずれの場合も」とは、実体を分割したとき、分割の結果生じるものが（1）実体の性質を保持する場合、（2）実体の性質を失う場合、の二通りを指す。このようにして定理12を証明する。