Spinoza Note 14: [定理3] 共通点がないと影響しない

定理3に進む。

Quæ res nihil commune inter se habent, earum una alterius causa esse non potest.

Eliot訳：If two things have nothing in common, one cannot be the cause of the other.
Dem. If they have nothing in common with each other, they cannot (by ax. 5)
be understood by means of each other, and thus (by ax. 4) one cannot be the cause of the other; q.e.d.
Elwes訳：Things which have nothing in common cannot be one the cause of the other.
Proof.—If they have nothing in common, it follows that one cannot be apprehended by means of the other (Ax. v.), and, therefore, one cannot be the cause of the other (Ax. iv.). Q.E.D.
畠中訳：相互に共通点を有しない物は、その一が他の原因たることが出来ない。
証明：もしそれらの物が相互に共通点を有しないなら、それはまた（公理5により）相互に他から認識されることができない。したがって、（公理4により）その一が他の原因足たることが出来ない。
高桑訳：互いに共通性をもたぬ二つのものの一つは、他のものの原因であることができない。
証明：もし、それらのものが、互いに共通性をもたないとすれば、（公理5によって）互いに一方を通じて他方が認識されることも出来ない。したがって、（公理4によって）その一方が、他方の原因であることは出来ないのである。
Jarrettは次のように翻訳する：

∀x.∀y.[ ￢∃z.is-common-to( z, x, y ) ⇒
              ￢ is-cause_of( x, y ) ∧ ￢ is-cause-of( y, x ) ]

x と y に共通するもの z がないなら、x は y の原因ではないし、y は x の原因ではない。

あとは公理5と4で証明出来るか確認する。公理5は前項で既にみた：

∀x.∀y.[ ￢∃z. is-common-to( z, x, y ) ⇔
￢ is-conceived-through( x, y ) ∧ ￢ is-conceived-through( y, x ) ]

「共通するものがなければ・・・」という定理なので、証明したい式の左辺を置き換える。

∀x.∀y.[ ￢ is-conceived-through( x, y ) ∧
              ￢ is-conceived-through( y, x )  ⇒
              ￢ is-cause_of( x, y ) ∧ ￢ is-cause-of( y, x ) ]

公理4は初出なので、慎重にみてみよう：

Effectûs cognitio à cognitione causæ dependet, & eandem involvit.

Eliot: The knowledge of an effect depends on, and implies, the knowledge of its cause.
Elwes: The knowledge of an effect depends on and involves the knowledge of a cause.
畠中：結果の認識は原因の認識に依存し、かつこれを含む。
Jarrettはこれを次のように翻訳する：

∀x.∀y.[ is-cause-of( x, y ) ⇔ is-conceived-through( y, x ) ]

右から左に読む。y が x を介して知られるならば x は y の原因である。
左から右に読む。x が y の原因ならば y は x を介して知られる。

知ること（conceive）と因果関係の強い関係を述べている。現代の用語では、感覚刺激と知覚に置き換えたら理解しやすいかもしれない。この定義により、右辺の is-cause-of を is-conceived-through に置き換える：

∀x.∀y.[ ￢ is-conceived-through( x, y ) ∧
              ￢ is-conceived-through( y, x )  ⇒
              ￢ is-conceived-through( y, x ) ∧
              ￢ is-conceived-through( x, y ) ]

左右が等しくなったので証明が完了した。共通点がないから影響を及ぼし得ない。ゆえに媒体として使えない（機能しない）。そう考えたら真っ当な主張である。