Cinderellaで数学：いろいろな曲線：リサジュー

2024年5月21日 08:17

　リサジュー曲線。リサージュという方が通りがいいでしょうか。媒介変数表示で
　　　$${x=\sin (at+b),y=\sin (ct+d)}$$
のような式で表される曲線です。一方をcosにしたりするものもあり，一方は $${\sin (ct)}$$ とするのも多いようです。要するに，$${x,y}$$ とも単振動で，周期や位相が異なるものです。実際に振り子を使って描画をする実験もYoutubeに載っています。
　Cinderellaに限らず，この曲線を描くのは簡単でしょう。それよりも，周期や位相を変えるとどんな図形になるのかに興味があります。次の図はほんの一例で，よく出てくるものです。

　黒い点は $${x=\sin at,y=\sin(bt+c)}$$ で，$${t = \frac{\pi}{12}}$$ に対応する点です。
　Cindyscript で描いてみましょう。

fx(t):= sin(a*t);
fy(t):= sin(b*t + c);
a = 1;
b = 2;
c = pi/6;
plot([fx(t),fy(t)]);

これだけです。a, b, c の値を変えていろいろ描いてみればいいでしょう。

しかし，これだけではただ描いてみたに過ぎません。次のようなことも考えましょう。

・$${t}$$ が $${t=0}$$ から変化していくとき，どのように図形は描かれていくか。
　もちろん，$${t=0}$$ を代入すれば出発点はわかります。しかし描かれる順序は？
　これを考えるには，次のようにすることです。

　(1) $${t}$$が変化するとき，$${x}$$ はどのように変化するか。
　　　→ 方程式を満たす点の，横方向の動きを考える。
　(2) $${t}$$が変化するとき，$${y}$$ はどのように変化するか。
　　→ 方程式を満たす点の，縦方向の動きを考える。
　(3) (1)(2) が同時に起こるとき，点の動きはどうなるか。

　このようにして，動きをイメージすることができると，リサジュー曲線に限らず，方程式を与えられた曲線の概形を予想できるようになります。そのうえで，微分をして増減を調べていけば曲線の概形は描けるでしょう。（高校の数学Ⅲの内容ですので，学ばない人もいます）
(3) の点の動きについては，内部時計を用いてアニメーションにすることができます。
　まず，Simulation Start スロットに
resetclock()
を書きます。
　次に，Timer Tick スロットに
t = seconds()
を書きます。
　Draw スロットの plot の文を
plot([fx(#), fy(#)], stop -> t);
に変えます。関数定義は Initialization スロットに移しておきましょう。
左下のコントローラでプレイボタンを押すと，始点の$${(0, \frac{1}{2})}$$ からスタートして曲線がすこしずつ描かれていきます。