Cinderellaで数学：いろいろな曲線：補助円を利用した円錐曲線

2024年7月1日 19:35

　高校の数学の教科書では，「２点F,F'からの距離の和が一定である点の軌跡」として楕円を定義し，方程式を求めています。この定義に沿って図を描くには，２点を画鋲で留めて，糸をピンと張ったまま動かす，というのがあります。
　「曲線の事典」（礒田正美他編著：共立出版 2009）には，「補助円を利用した円錐曲線」として，作図器を用いた楕円の描画がありますが，それがこの定義に沿ったものになっています。他にも，双曲線，放物線があります。

　点A，Oおよび，点Oを中心とする半径$${\ell}$$の円$${\gamma}$$が与えられている。円$${\gamma}$$の円周上に点Cをとり、四角形ABCDは点Cの位置にかかわらず常に菱形となる。点B，Dを通る直線dは動径OCに連動する。点Cが円$${\gamma}$$の円周上を動くとき，直線OCと直線dの交点Pは円錐曲線をかく。

「曲線の事典」（礒田正美他編著：共立出版 2009） p54

楕円

$${\ell}$$>OAのとき，点Pは焦点O，A，長軸の長さ$${\ell}$$の楕円をかく。また，直線dは点Pにおける楕円の接線となる。

同上

Web上にも図があります。次のページ，左の目次から「円錐曲線」に進みます。

　では，Cinderellaで作図しましょう。背景の軸と方眼は必ずしも必要ではありませんが，分かりやすくするために表示しました。
① 2点A，Bをとる（元の図のAとOに相当）
② Bを中心に円を描き，円周上に点Cをとる。
③ ACを線分で結び，中点Dをとって，この点を中心とする円を描く。
④ Dを通る垂線を引き，円との交点E，Fをとれば菱形ができる。
⑤ 直線EFと直線BCの交点Gをとる。
⑥ 軌跡ツールを選び，動かす点としてC，軌跡を描く点としてGを選ぶ。

　この図は，図2.34 の図（以下，元図）を見ながら作図しましたが，写真と図は合っていません。点の名前などを元図に合わせ，写真と合うように点Cの位置を変えたのが次の図です。Webにあるカラーの写真と並べてみました。

　作図器の方には縦に１本の棒がありますが，これは点Aのところで菱形を回転させるためのものでしょう。
　点Cが乗っている円の大きさを変えると，楕円が変わりますが，Dを中心とする円の大きさを変えても楕円は変化しません。ということは，菱形の大きさ・B,Dの位置は無関係ということです。ACの中点を通る垂線が必要であって，AとPを結んでみると，AP=CP ですから（PはACの垂直二等分線上の点）AP+PO=OC となって「２点からの距離の和が一定」という条件を満たすことになります。菱形を作図器で作っているのは，ACの中点を通る垂線（菱形の対角線）を作るためであるといえます。

双曲線

　$${\ell}$$<OAのとき、点Pは焦点O，A，焦点間の距離$${\ell}$$の双曲線をかく。また，直線dは点Pにおける双曲線の接線となる。

「曲線の事典」（礒田正美他編著：共立出版 2009） p54

　楕円の図で，点Aを円の外側に持っていくと軌跡は双曲線になります。

点Pが見えるようにCの位置を変えて，補助線APを引いてみました。

AP=CPなので，AP-OP=OCとなり，「2定点からの距離の差が一定」という双曲線の定義を満たすことになります。
　また，タイトルの「補助円を利用した」ですが，この補助円とはOを中心とする円のことで，楕円の場合も双曲線の場合も AP=CP ですから，「補助円の点と点Aとの距離が等しい点の軌跡」ということです。
　したがって，作図ツールでは，菱形を描かなくても次のように描画ができます。

放物線

　軸aは平行線r，r'を直線ガイドとして平行移動できる。点Cを軸aと直線rとの交点，点Aを平行線rとr'の間に固定された点とする（点Aを無限遠点上においたので、点Cは円でなく直線上を動く）。点B，Dは軸aと連動して動く直線d上の点で、かつ四角形ABCDは菱形をなす。このとき、軸aと直線dの交点Pは焦点A、準線rである放物線をかく。

「曲線の事典」（礒田正美他編著：共立出版 2009） p54

「点Aを無限遠点上においた」がわかりにくいですが，Web上の図では，単に「放物線の場合は補助円は直線となる」と書いてあります。なお，写真と図は上下が逆ですね。また，ABCDは菱形にはなっていません。
　作図は簡単でしょう。BDは菱形の対角線なので，PA=PC もすぐわかります。すなわち，直線rが準線，点Aが焦点ということです。
　次の図は，説明文と図にならって作図したものです。点の名前は作図順になっています。作図中の円は菱形を作るためのものです。