反復関数系とコッホ曲線
複素数平面上で，コッホ曲線を描きます。コッホ曲線やシェルピンスキー ・ギャスケットなどは，次節で示すように，タートルグラフィクスで描くことができ，そこでは繰り返しシステムを使って線を引いていきます。それに対し，ここでは線は引きませんので，「曲線」とは言い難いかもしれません。
インドラの真珠では２つのメビウス変換を繰り返し使ってアポロニウス・パッキングなどを描きました。それが「反復関数系」です。メビウス変換でなく，相似変換でもやりました。同じようなことをやると，コッホ曲線が描けるというわけです。
フラクタルＣＧコレクション（渕上季代絵著：サイエンス社）に，京都大学の畑正義氏の式が載っており，それに基づいていくつかの図を載せてあります。
$${f_0(z)=az+b \overline{z}}$$ , $${f_1(z)=c(z-1)+d(\overline{z}-1)+1}$$
この２つの関数を用い変換を繰り返します。
はじめは，$${z_0=0}$$ の１つです。これを$${f_0,f_1}$$ を適用して，$${z_{10}=f_0(z_0}$$ , $${z_{11}=f_1(z_0)}$$ の２つの点ができます。その２つの点に$${f_0,f_1}$$ をまた適用して，というのを繰り返すわけです。
リンク先を開くと次の画面になります。
上方に9つのボタンがあります。表示されていない場合は再読み込みしてください。
先ほどの式の$${a,b,c,d}$$ が点A〜Dで決まります。青い点が４つあります。ひとつは初期値の$${z_0=0}$$ で，その像はやはり 0 です。繰り返しを２回やりましたので点は４つになっています。A〜Dの４つの点はドラッグして動かすことができます。少し動かして繰り返し数を増やしてみましょう。
上のボタンには，「フラクタルＣＧコレクション」に掲載されているものが設定してあります。「１」がコッホ曲線です。
1回目は点AとBに重なります。２回繰り返して，点が２つ増えました。点A（原点）から始め，Bを経由してこれを結べば，コッホ曲線の基本パターンになりますね。繰り返しを増やすと次のようになります。
点が近くなって，線を引いたのとほとんど変わりません。
「インドラの真珠」の「相似変換の反復」や「反復関数系による極限集合の生成」でシェルピンスキー・ギャスケットを描いたときと同じことが起こっているわけです。
この状態から始めて，点を動かすこともできます。点Bと点Cが実軸に関して対称な場合とそうでない場合を試してみましょう。
他のメニューもやってみましょう。L-Sytem（次節）の植物の生長のような図もあります。
さて，ここまで，初期値は$${z_0=0}$$ でしたが，初期値を変えるとどうなるでしょう。インドラの真珠で実験したときは，初期値を変えても極限集合は変わりませんでした。
初期値を設定できるものが次です。
-0.2 のところに青い点があります。これが初期値です。「１」のメニューボタンを押して，コッホ曲線を表示してみましょう。
先ほどと違いますね。
繰り返し回数を増やしましょう。
ちゃんとコッホ曲線になったようです。
初期値の青い点を動かしてみると，どこに動かしても図はかわらない（正確にはほとんど変わらない）ことがわかります。
他の設定（メニュー）でもやってみましょう。
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