数学パズルその３

久しぶりの投稿です！　『数学パズル』を作ってみました。

問題

正解はページの一番下にあります。答えが知りたくなったら、Let's scroll！

エ

ニ

グ

マ

ッ

ス

ル

！

答え

Ｃ君

解説

・ｍ、ｎは異なる二つの自然数（ｍ＞ｎ）

・カードに書かれた数字は和（ｍ＋ｎ）、差（ｍ－ｎ）、積（ｍ×ｎ）、商（ｍ／ｎ）のいずれかである

・四人の証言

Ａ「平方数だった」

Ｂ「一桁の自然数だった」

Ｃ「１２の倍数だった」、

Ｄ「素数だった」

以上より、カードに書かれた数字は全て自然数だとわかる。ｍ／ｎが自然数であることから、

ｍ＝ｐｘ、　ｎ＝ｘ（ｘは自然数、ｐは１を除く自然数）

と表せる。

以上を踏まえたうえで、Ａ君・Ｂ君・Ｄ君が受け取ったカードが積のカードではありえないことを示し、消去法により、積のカードを持っているのがＣ君であると証明する。

①Ｂ君が積のカードを持っていると仮定した場合

Ｂ「一桁の自然数だった」、Ｃ「１２の倍数だった」という二つの証言により、Ｃ君が持っているカードの数字は明らかにＢ君が持っているカードの数字より大きい。

ｍ、ｎはｍ＞ｎを満たす異なる自然数であるため、ｍ－ｎおよびｍ÷ｎがｍ×ｎより大きくなることはない。よって、Ｃ君が持っているのは和のカードである。そして、ｍ×ｎ＜ｍ＋ｎとなるのはｎ＝１の場合に限られる。結果、ｍ＝ｐ、ｎ＝１となり、Ｂ君のカードはｐ、Ｃ君のカードはｐ＋１で確定する。

Ｂ君のカードは一桁の自然数であるためｐ≦９。よって、ｐ＋１≦１０となるが、これはＣ君のカードが１２の倍数である事実と矛盾する。

以上より、Ｂ君が積のカードを持っているという仮定は成立しない。

②Ｄ君が積のカードを持っていると仮定した場合

Ｄ「素数だった」という証言により、

ｍ＝ｑ、　ｎ＝１（ｑは素数）

と表せる。

四枚のカードに書かれた数字は――

和（ｑ＋１）、差（ｑ－１）、積（ｑ）、商（ｑ）

となるが、Ｂ「一桁の自然数だった」という証言により、この四つの数字のうち一つは一桁の自然数でなければならないので、ｑ＜１１。よって、ｑ－１＜１０、ｐ＋１＜１２となるが、これはＣ君のカードが１２の倍数である事実と矛盾する。

以上より、Ｄ君が積のカードを持っているという仮定は成立しない。

③Ａ君が積のカードを持っていると仮定した場合

Ａ「平方数だった」という証言により、ｍ×ｎ＝ｐｘ²が平方数となるが、これを満たすためにはｐも平方数でなければならない。ｐ≠１より、ｍとｎの組み合わせは、

ｍ＝ｒｘ、　ｎ＝ｘ（ｘは自然数、ｒは１を除く平方数）

と表せる。また、Ａ君が積のカードを持っているため、Ｂ君・Ｃ君・Ｄ君が和・差・商のいずれかのカードを持っていることになる。

ここで、商のカードに注目する。商のカードに書かれた数字はｍ／ｎ＝ｒであるが、Ｄ「素数だった」という証言により、Ｄ君が商のカードを持っていることはありえない（平方数は素数ではないため）。従って、商のカードを持っているのはＢ君かＣ君。

【１】Ｂ君が商のカードを持っていると仮定した場合

Ｂ「一桁の自然数だった」という証言により、ｍ／ｎ＝ｒ≦９。ｒは１を除く平方数であるので、ｒ＝４、９。ｍとｎの組み合わせは、

（ｍ、ｎ）＝（４ｘ、ｘ）（９ｘ、ｘ）

に限られる。

＜１＞（ｍ、ｎ）＝（４ｘ、ｘ）の場合

Ａ君が積のカード、Ｂ君が商のカードを持っているので、ＣとＤが持っているのは和（５ｘ）または差（３ｘ）のカード。Ｄ「素数だった」という証言により、ｘ＝１。これは、Ｃ「１２の倍数だった」という証言に矛盾する。よって不適。

＜２＞（ｍ、ｎ）＝（９ｘ、ｘ）の場合

Ａ君が積のカード、Ｂ君が商のカードを持っているので、ＣとＤが持っているのは和（１０ｘ）または差（８ｘ）のカード。ｘの値に関わらず、Ｄ「素数だった」という証言に矛盾するので不適。

＜１＞＜２＞より、Ｂ君が商のカードを持っているという仮定は成立しない。

【２】Ｃ君が商のカードを持っていると仮定した場合

Ｃ「１２の倍数だった」という証言により、ｍ／ｎ＝ｒは１２の倍数。さらにｒは平方数でもあるので、１２＝２²×３であることを踏まえると、

ｒ＝３６ｓ（ｓは平方数）

と表せる。ｍとｎに代入すると、

ｍ＝３６ｓｘ、　ｎ＝ｘ（ｘは自然数、ｓは平方数）

となる。

Ａ君が積のカード、Ｃ君が商のカードを持っているので、ＢとＤが持っているのは和（（３６ｓ＋１）ｘ）または差（（３６ｓ－１）ｘ）のカード。

ｓは平方数であるので、ｓ≧１。よって、

（３６ｓ＋１）≧３７、（３６ｓ－１）≧３５

となり、ｘは自然数であるため、

（３６ｓ＋１）ｘ≧３７、（３６ｓ－１）ｘ≧３５

どちらかの数字がＢのカードに書かれているはずだが、これはＢ「一桁の自然数だった」という証言に矛盾する。

以上より、Ｃ君が商のカードを持っているという仮定は成立しない。

【１】【２】より、Ａ君が積のカードを持っていると仮定すると、Ｂ君・Ｃ君・Ｄ君のいずれも商のカードを持っていないことになる。これは問題文の前提に矛盾する。

以上より、Ａ君が積のカードを持っているという仮定は成立しない。

①②③より、Ａ君・Ｂ君・Ｄ君が受け取ったのは積のカードではない。よって、積のカードを受け取ったのはＣ君である。