平成30年度 機械科目 問13 電験3種過去問
問題
考え方
この問題は、ブロック線図から伝達関数を求める問題である。この問題では、フィードバックとフィードフォワードが組み合わされているため、ブロック線図を変形するか、地道に計算するかのどちらかで解くことになる。
解答例1
まずは、地道に計算するパターンを示す。地道に計算する場合は、図1に示すように自分で信号名をつけると良い。
図1から次のような関係式が得られる。なお$${(j\omega)}$$は省略する。
$$
\begin{align}
C &= E\frac{T_{1}}{T_{2}}+T \tag{1}\\
E &= R-T\tag{2}\\
T &= E\frac{1}{j\omega T_{2}}\tag{3}\\
\end{align}
$$
式(2)に式(3)を代入すると、
$$
\begin{align}
E &= R-T\notag\\
&= R-E\frac{1}{j\omega T_{2}}\notag\\
\left(1+\frac{1}{j\omega T_{2}}\right)E &= R\notag\\
E &= \frac{R}{\left(1+\frac{1}{j\omega T_{2}}\right)}\notag\\
&= \frac{j\omega T_{2}R}{1+j\omega T_{2}}\tag{4}
\end{align}
$$
式(1)に式(3)と式(4)を代入すると、
$$
\begin{align}
C &= E\frac{T_{1}}{T_{2}}+T \notag\\
&= \frac{j\omega T_{2}R}{1+j\omega T_{2}}\,\frac{T_{1}}{T_{2}}+E\frac{1}{j\omega T_{2}}\notag\\
&= \frac{j\omega T_{1}R}{1+j\omega T_{2}}+\frac{j\omega T_{2}R}{1+j\omega T_{2}}\frac{1}{j\omega T_{2}} \notag\\
&= \frac{j\omega T_{1}R}{1+j\omega T_{2}}+\frac{R}{1+j\omega T_{2}} \notag\\
&= \left(\frac{1+j\omega T_{1}}{1+j\omega T_{2}}\right)R\tag{5}\\
\end{align}
$$
となるので、伝達関数$${\frac{C(j\omega)}{R(j\omega)}}$$は、式(5)より、
$$
\frac{C(j\omega)}{R(j\omega)} =\frac{1+j\omega T_{1}}{1+j\omega T_{2}}\tag{6}
$$
となる。よって、答えは、(4)となる。
解答例2
ブロック線図を変形する方法を見ていく。
問題文のブロック線図では、フィードバックの中に信号の分岐が入っているため、フィードバックの変形が使用できない。そこで、ブロック線図を図2のように変形する。
図1において、$${\frac{T_{1}}{T_{2}}}$$には、$${E(j\omega)}$$が入力となっていた。図2においても、$${\frac{T_{1}}{T_{2}}}$$の入力は、
$$
E(j\omega)\frac{1}{j\omega T_{2}}\times j\omega T_{2} = E(j\omega) \tag{7}
$$
となっており、同じであることがわかる。また、信号$${T(j\omega)}$$も変化していない。よって、図2と図1は同じブロック線図を表す。
図3の前半はフィードバックなので、入力信号$${R(j\omega )}$$から、信号$${A(j\omega )}$$までの伝達関数は、
$$
\begin{align}
\frac{A(j\omega)}{R(j\omega)} &= \frac{\frac{1}{j\omega T_{2}}}{1+\frac{1}{j\omega T_{2}}}\notag\\
&= \frac{1}{1+j\omega T_{2}}\tag{8}
\end{align}
$$
となる。信号$${A(j\omega )}$$から、出力信号$${C(j\omega )}$$までの伝達関数は、
$$
\begin{align}
C(j\omega) &= A(j\omega)+\left(j\omega T_{2}\frac{T_{1}}{T_{2}}\right)A(j\omega) \notag\\
&= \left(1+j\omega T_{1}\right)A(j\omega)\tag{9}\\
\end{align}
$$
信号$${A(j\omega )}$$は、式(8)より$${A(j\omega) = \left( \frac{1}{1+j\omega T_{2}}\right)R(j\omega)}$$なので、伝達関数$${\frac{C(j\omega)}{R(j\omega)}}$$は、
$$
\begin{align}
C(j\omega) &= \left(1+j\omega T_{1}\right)A(j\omega)\notag\\
&= \left(1+j\omega T_{1}\right)\left( \frac{1}{1+j\omega T_{2}}\right)R(j\omega)\notag\\
\frac{C(j\omega)}{R(j\omega)} &= \frac{1+j\omega T_{1}}{1+j\omega T_{2}}\tag{10}
\end{align}
$$
となる。
サイト
https://sites.google.com/view/elemagscience/%E3%83%9B%E3%83%BC%E3%83%A0
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