令和4年度上期 理論科目 問2 電験3種過去問
問題
考え方
この問題は、ベクトルの合成を行う必要がある。点電荷が同符号の場合は、力は反発する方向に働き、異符号の場合は、引き合う方向に力が働くことに注意する。
このようなベクトル合成を行う問題は、電験3種では度々出題される。今回は点電荷だが、電磁力などでも同様の計算を行うことがある。
解答例
まずは正の点電荷に働く力のベクトルを図1に示す。
図1において、点Aの点電荷と点Cの点電荷は同符号なので、反発する方向に力が働く。点Aの点電荷と点Bの点電荷は異符号なので、引き合う方向に力が働く。
図1のベクトルの角度の関係は図2に示すようになる。
図2において、ベクトル$${\dot{F}_{AC}}$$とベクトル$${\dot{F}_{AB}}$$との間の角度$${\theta_{A}}$$は、$${\angle CAB}$$が正三角形の内角$${(60\degree)}$$であるから、
$$
\theta_{A}=180\degree - 60\degree=120\degree \tag{1}
$$
となる。図2のベクトル$${\dot{F}_{AC}}$$とベクトル$${\dot{F}_{AB}}$$は、向きは異なるが、どちらも大きさ$${1\,{\rm{C}}}$$同士のクーロン力である。よって、ベクトル$${\dot{F}_{AC}}$$とベクトル$${\dot{F}_{AB}}$$が作る四角形は、ひし形となる。ひし形の半分を抜き出すと図3のようになる。
ひし形の対角線は、互いに直角に交わる。また、ベクトル$${\dot{F}_{AC}}$$とベクトル$${\dot{F}_{AB}}$$の大きさが等しいので、図3は二等辺三角形となる。
ひし形は平行四辺形の一種なので、点Aから伸びるベクトル$${\dot{F}_{1}}$$は、平行四辺形の性質から、二等辺三角形の底辺を二等分する。したがって、ベクトル$${\dot{F}_{1}}$$は、二等辺三角形の頂角を二等分する垂直二等分線となるので、図3の水色で示した角度は$${60\degree}$$となる。
図3の二等辺三角形の半分を抜き出すと、図4のようになる。
図4においては、角度の関係から、三角比が決まるため、ベクトル$${\dot{F}_{1}}$$の大きさ$${F_{1}}$$は、図4の2倍になることに注意し、$${\dot{F}_{AB}}$$の大きさを$${F_{AB}}$$とすると、
$$
F_{1}=2\times \frac{1}{2}F_{AB} = F_{AB}\tag{2}
$$
と求まる。
次に負の点電荷に働く力のベクトルを図5に示す。
図5において、点Bの点電荷は、点Aおよび点Cの点電荷と異符号なので、どちらも引き合う方向に力が働く。図5のベクトル$${\dot{F}_{BC}}$$とベクトル$${\dot{F}_{BA}}$$は、向きは異なるが、どちらも大きさ$${1\,{\rm{C}}}$$同士のクーロン力である。よって、ベクトル$${\dot{F}_{BC}}$$とベクトル$${\dot{F}_{BA}}$$が作る四角形は、ひし形となる。ひし形の半分を抜き出すと図6のようになる。
図6のオレンジ色で示す角度の議論は、図3と同様に、ひし形の性質と二等辺三角形の性質から、$${30\degree}$$となる。図6の二等辺三角形の半分を抜き出すと図7のようになる。
図7において、角度の関係から、三角比が決まるため、ベクトル$${\dot{F}_{2}}$$の大きさ$${F_{2}}$$は、図4の2倍になることに注意し、$${\dot{F}_{BA}}$$の大きさを$${F_{BA}}$$とすると、
$$
F_{2}=2\times \frac{\sqrt{3}}{2}F_{BA} = \sqrt{3}F_{BA}\tag{3}
$$
と求まる。
ベクトル$${\dot{F}_{BA}}$$の大きさ$${F_{BA}}$$と、図4に示す$${\dot{F}_{AB}}$$の大きさ$${F_{AB}}$$は、同じ大きさであるため、点電荷に働く力の比は、
$$
\frac{F_{2}}{F_{1}}=\frac{\sqrt{3}F_{AB}}{F_{AB}}=\sqrt{3}\tag{4}
$$
となる。よって、答えは、(3)である。
サイト
https://sites.google.com/view/elemagscience/%E3%83%9B%E3%83%BC%E3%83%A0
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