令和3年度　理論科目　問7　電験3種過去問

問題

出典：令和3年度第三種電気主任技術者理論科目A問題問7

考え方

この問題は、最大電力に関する問題である。電流$${I}$$の式は、

$$
I=\frac{nE}{nr+R}\tag{1}
$$

で求まる。式(1)の形は回答にないため、可変抵抗$${R}$$の値を求めないといけない。そこで、可変抵抗$${R}$$の電力式を立て、微分することで、最大電力を発生させる時の可変抵抗$${R}$$の条件式を導いていく。

解答例

可変抵抗$${R}$$の消費電力$${P}$$は、

$$
\begin{align}
&\notag\\
P&=RI^{2}\tag{2}
\end{align}
$$

で求まる。
式(2)に式(1)を代入すると、

$$
\begin{align}
&\notag\\
P&=RI^{2}\notag\\
&= R\left(\frac{nE}{nr+R}\right)^{2}\notag\\
&= \frac{\left(nE\right)^{2}R}{R^{2}+2nrR+\left(nr\right)^{2}}\notag\\
&= \frac{\left(nE\right)^{2}R}{R^{2}+2nrR+\left(nr\right)^{2}} \times \frac{\frac{1}{R}}{\frac{1}{R}}\notag\\
&= \frac{\left(nE\right)^{2}}{R+2nr+\frac{\left(nr\right)^{2}}{R}}\tag{3}\\
\end{align}
$$

となる。式(3)において、変数は可変抵抗$${R}$$のみである。そのため、分母が最小となれば、最大電力が得られる。分母は、

$$
\frac{\left(nr+R\right)^{2}}{R}\tag{4}
$$

であるから、下に凸な曲線となる。したがって、最小値は分母を$${R}$$で微分して$${0}$$となるときなので、

$$
\begin{align}
\left(R+2nr+\frac{\left(nr\right)^{2}}{R}\right)^{\prime} &=0\notag\\
1-\frac{\left(nr\right)^{2}}{R^{2}}&=0\notag\\
\frac{\left(nr\right)^{2}}{R^{2}}&=1\notag\\
R^{2}&=\left(nr\right)^{2}\notag\\
R &= nr\tag{5}
\end{align}
$$

と求まる。
式(5)で最大電力となる時の可変抵抗の値がわかったので、式(1)に代入すると、

$$
\begin{align}
I&=\frac{nE}{nr+R}\notag\\
&= \frac{nE}{nr+nr}\notag\\
&=\frac{nE}{2nr}\notag\\
&= \frac{E}{2r}\tag{6}\\
\end{align}
$$

となる。よって答えは、(4)である。

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