システムの応答　現代制御

状態空間表現の解

関連記事の状態方程式の自由応答と同様に、$${n}$$次元1入力1出力システムの状態空間表現が、

$$
\begin{align}
\dot{\bm{x}}(t) &= A\bm{x}(t)+\bm{b}u(t)\tag{1}\\
y(t)&= \bm{c}\bm{x}(t)+du(t)\tag{2}\\
\end{align}
$$

で表される場合を考える。

状態遷移行列$${e^{At}}$$の性質を用いながら式(1)の状態方程式の解を求める。
式(1)の両辺に左から$${e^{-At}}$$をかけると、

$$
\begin{align}
\dot{\bm{x}}(t) &= A\bm{x}(t)+\bm{b}u(t)\notag\\
e^{-At}\dot{\bm{x}}(t) &= e^{-At}A\bm{x}(t)+e^{-At}\bm{b}u(t)\notag\\
e^{-At}\dot{\bm{x}}(t) -e^{-At}A\bm{x}(t) &= e^{-At}\bm{b}u(t)\tag{3}\\
\end{align}
$$

となる。
ここで、関連記事の状態遷移行列の中で見たように、状態遷移行列の微分は、

$$
\frac{{\rm{d}}}{{\rm{d}}t}e^{At} = Ae^{At}=e^{At}A\tag{4}
$$

である。また、微分のライプニッツ則から、

$$
\frac{{\rm{d}}}{{\rm{d}}t}\left(f(x)g(x)\right)=\left(\frac{{\rm{d}}}{{\rm{d}}t}f(x)\right)g(x)+f(x)\left(\frac{{\rm{d}}}{{\rm{d}}t}g(x)\right)\tag{5}
$$

となるので、式(3)は、

$$
\begin{align}
e^{-At}\dot{\bm{x}}(t) -e^{-At}A\bm{x}(t) &= e^{-At}\bm{b}u(t)\notag\\
\frac{{\rm{d}}}{{\rm{d}}t}\left(e^{-At}\bm{x}(t)\right) &=  e^{-At}\bm{b}u(t)\tag{6}\\
\end{align}
$$

となる。式(6)を$${t}$$について、積分すれば、解を得られるわけであるが、時間の変数として、$${t}$$を用いることが多いため、混同することを避けるために、式(6)の$${t}$$を$${\tau}$$と書き換える。

$$
\begin{align}
\frac{{\rm{d}}}{{\rm{d}}\tau}\left(e^{-A\tau}\bm{x}(\tau)\right) &=  e^{-A\tau}\bm{b}u(\tau)\tag{7}\\
\end{align}
$$

式(7)を$${\tau}$$について、$${0}$$から$${t}$$まで積分すると、

$$
\begin{align}
\int_{0}^{t} \frac{{\rm{d}}}{{\rm{d}}\tau}\left(e^{-A\tau}\bm{x}(\tau)\right){\rm{d}\tau} &=  \int_{0}^{t} e^{-A\tau}\bm{b}u(\tau){\rm{d}\tau} \notag\\
\left[e^{-A\tau}\bm{x}(\tau)\right]_{0}^{t} &= \int_{0}^{t} e^{-A\tau}\bm{b}u(\tau){\rm{d}\tau} \notag\\
e^{-At}\bm{x}(t)-\bm{I}\bm{x}(0) &= \int_{0}^{t} e^{-A\tau}\bm{b}u(\tau){\rm{d}\tau} \notag\\
e^{-At}\bm{x}(t) &= \bm{x}(0)+\int_{0}^{t} e^{-A\tau}\bm{b}u(\tau){\rm{d}\tau} \tag{8}\\
\end{align}
$$

となる。式(8)では、関連記事の状態遷移行列の性質②を用いている。
式(8)に左から状態遷移行列$${e^{At}}$$をかけると、

$$
\begin{align}
e^{At}e^{-At}\bm{x}(t) &= e^{At}\bm{x}(0)+e^{At}\int_{0}^{t} e^{-A\tau}\bm{b}u(\tau){\rm{d}\tau} \notag\\
\bm{I}\bm{x}(t) &= e^{At}\bm{x}(0)+\int_{0}^{t} e^{A(t-\tau)}\bm{b}u(\tau){\rm{d}\tau} \notag\\
\bm{x}(t) &= e^{At}\bm{x}(0)+\int_{0}^{t} e^{A(t-\tau)}\bm{b}u(\tau){\rm{d}\tau} \tag{9}\\
\end{align}
$$

となる。式(9)では、関連記事の状態遷移行列の性質④、⑤を用いている。
式(9)で式(1)の状態方程式の解が求まった。
また、出力方程式は、式(2)に式(9)を代入して、

$$
\begin{align}
y(t)&= \bm{c}\bm{x}(t)+du(t)\notag\\
&= \bm{c}\left(e^{At}\bm{x}(0)+\int_{0}^{t} e^{A(t-\tau)}\bm{b}u(\tau){\rm{d}\tau}\right)+du(t)\notag\\
&=  \bm{c}e^{At}\bm{x}(0)+\int_{0}^{t} \bm{c}e^{A(t-\tau)}\bm{b}u(\tau){\rm{d}\tau}+du(t)\tag{10}\\
\end{align}
$$

となる。
式(9)において、入力$${u(\tau)}$$が$${0}$$の時は、

$$
\bm{x}(t) = e^{At}\bm{x}(0)\tag{11}
$$

となるため、自由応答(零入力応答)の解と一致する。また、この項は、初期状態の影響を表していることが分かる。
次に、初期ベクトル$${\bm{x}(0)}$$を$${0}$$とした場合の解は、

$$
\bm{x}(t) =\int_{0}^{t} e^{A(t-\tau)}\bm{b}u(\tau){\rm{d}\tau} \tag{12}
$$

となる。これを零状態応答という。この項は、入力$${u(\tau)}$$の影響を表していることが分かる。
したがって、式(1)の状態方程式の解は、零入力応答と零状態応答の重ね合わせとなっていることが示された。
この重ね合わせが成り立つことは、線形システムの大きな特徴である。

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状態方程式の自由応答　現代制御
https://note.com/elemag/n/nefe0c09cccb2?sub_rt=share_pw

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https://note.com/elemag/n/n6bacce03f98a?sub_rt=share_pw

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