平成21年度　機械科目　問15　電験3種過去問

問題

出典：平成21年度第三種電気主任技術者機械科目B問題問15

考え方

問題文で機械損は無視できるとしているので、機械的出力と定格出力は等しい。
(a)はトルクの式を用いる。
機械的出力$${P_{m}\,[\rm{W}]}$$と角速度$${\omega\,[\rm{rad/s}]}$$を用いて、トルク$${T\,[\rm{N\cdot m}]}$$は、

$$
T=\frac{P_{m}}{\omega}\,[\rm{N\cdot m}]\tag{1}
$$

で求まる。
(b)は、問題文で鉄損が無視できるとしているので、効率の式は、

$$
\begin{align}
&\notag\\
効率&＝\frac{機械的出力}{機械的出力+一次銅損＋二次銅損}\times 100\,[\%]\tag{2}\\
\end{align}
$$

となる。二次銅損$${P_{c2}}$$および、機械的出力$${P_{m}}$$は、滑りによって変化するため、注意が必要である。

解答例

(a)
角速度$${\omega\,[\rm{rad/s}]}$$は、回転速度$${N\,[\rm{min^{-1}}]}$$を用いて、

$$
\omega=2\pi \frac{N}{60} \,[\rm{rad/s}]\tag{3}
$$

で求まる。回転速度$${N\,[\rm{min^{-1}}]}$$は、同期速度$${N_{0}\,\,[\rm{min^{-1}}]}$$と、滑り$${s}$$を用いて、

$$
\begin{align}
N&= (1-s)N_{0}\,[\rm{min^{-1}}]\tag{4}\\
\end{align}
$$

となる。同期速度$${N_{0}\,[\rm{min^{-1}}]}$$は、極数$${p}$$、定格周波数$${f\,[\rm{Hz}]}$$を用いて、

$$
\begin{align}
N_{0}&= \frac{120f}{p}\notag\\
&= \frac{120\times 60}{6}\notag\\
&= 1200\,\rm{min^{-1}}\tag{5}
\end{align}
$$

と求まる。問題文より定格運転時の滑り$${s}$$は$${5\%}$$なので、回転速度$${N\,[\rm{min^{-1}}]}$$は、式(4)より、

$$
\begin{align}
N&= (1-s)N_{0}\notag\\
&= (1-0.05)\times 1200\notag\\
&= 1140\,\rm{min^{-1}}\tag{6}
\end{align}
$$

となる。よって、定格運転時に発生するトルク$${T}$$は、式(1)より、

$$
\begin{align}
T&=\frac{P_{m}}{\omega}\notag\\
&= \frac{15\times 10^{3}}{2\pi \times \frac{1140}{60}}\notag\\
&=125.7 \,\rm{N\cdot m}\tag{7}
\end{align}
$$

となる。よって、(a)の答えは、(3)である。

(b)
問題文より発生トルクと滑りは比例関係にあるので、発生トルクが$${\frac{1}{2}}$$倍になれば、滑りも$${\frac{1}{2}}$$倍になり、$${2.5\%}$$となる。
発生トルクが$${\frac{1}{2}}$$倍になった時の機械的出力$${P_{m2.5}}$$は、式(1)より、

$$
\begin{align}
T^{\prime} &= \frac{P_{m2.5}}{(1-s)\left(2\pi\frac{N_{0}}{60}\right)}\notag\\
P_{m2.5}&= T^{\prime} \times(1-s)\left(2\pi\frac{N_{0}}{60}\right)\notag\\
&= \frac{125.7}{2}\times (1-0.025)\left(2\pi\frac{1200}{60}\right)\notag\\
&=7696.6 \,{\rm{W}}\tag{8}
\end{align}
$$

と求まる。二次銅損$${P_{c2}}$$は、

$$
P_{c2}:P_{m2.5} = s:(1-s)\tag{9}
$$

の関係から、

$$
\begin{align}
P_{c2} &= \frac{s}{(1-s)}P_{m2.5}\notag\\
&= \frac{0.025}{(1-0.025)}\times 7696.6\notag\\
&= 197.3 \,{\rm{W}}\tag{10}
\end{align}
$$

と求まる。よって、効率$${\eta}$$は、

$$
\begin{align}
\eta &= \frac{P_{m2.5}}{P_{m2.5}+P_{c1}+P_{c2}}\times 100\notag\\
&= \frac{7696.6}{7696.6+250+ 197.3}\times 100\notag\\
&= 94.5\%\tag{11}
\end{align}
$$

と求まる。よって、(b)の答えは、(3)である。

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