自由応答のモード展開　現代制御

モード展開

関連記事の状態方程式の自由応答で自由応答$${\bm{x}(t)}$$は、状態遷移行列$${e^{At}}$$を用いて、

$$
\bm{x}(t) = e^{At}\bm{x}(0)\tag{1}
$$

で表せることを見た。
ここで、線形代数の力を借りると、行列の特徴の表し方として、固有値というものがある。また、対角化を行うことで、固有値のみを持つ行列に変換することができる。したがって、状態変数変換を用いて、式(1)を対角化することを考える。
式(1)の$${n}$$次正方行列$${A}$$の固有値を$${\lambda_{i}(i=1,2,\cdots,n)}$$とする。ここでは、固有値の重複はないものとする。各固有値に対応する固有ベクトルを$${\bm{v}_{i}(i=1,2,\cdots,n)}$$とする。
固有ベクトルを並べて作る$${n}$$次正方行列$${T}$$を

$$
T=\left[\bm{v}_{1} \,\bm{v}_{2} \,\cdots \, \bm{v}_{n} \right]\tag{2}
$$

とする。新しい状態ベクトル$${\bm{z}(t)}$$を

$$
\bm{z}(t) = 
\begin{bmatrix}
z_{1}(t)\\
z_{2}(t)\\
\vdots\\
z_{n}(t)
\end{bmatrix}\tag{3}
$$

とすれば、状態ベクトル$${\bm{x}(t)}$$は、

$$
\bm{x}(t)=T\bm{z}(t)\tag{4}
$$

となる。
関連記事の状態方程式の自由応答の中で入力がない時の状態方程式は、

$$
\dot{\bm{x}}(t)=A\bm{x}(t)\tag{5}
$$

であった。固有ベクトルを並べて作った行列$${T}$$は、正則かつ時間に無関係であるため、

$$
\begin{align}
\bm{z}(t)&=T^{-1}\bm{x}(t)\tag{6}\\
\dot{\bm{x}}(t)&=T\dot{\bm{z}}(t)\tag{7}\\
\end{align}
$$

となることを考慮すると、式(5)は、

$$
\begin{align}
\dot{\bm{x}}(t)&=A\bm{x}(t)\notag\\
T\dot{\bm{z}}(t)&=AT\bm{z}(t)\notag\\
\dot{\bm{z}}(t)&=T^{-1}AT\bm{z}(t)\tag{8}\\
\end{align}
$$

となる。ここで、行列$${A}$$は、対角化されていることに注意する。対角化されているということは、

$$
T^{-1}AT=
\begin{bmatrix}
\lambda_{1} & 0 & \cdots & 0\\
0& \lambda_{2} & \cdots & 0\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
0 & 0 & \cdots & \lambda_{n} \\
\end{bmatrix}\tag{9}
$$

のようになっているということである。
よって、自由応答$${\bm{z}(t)}$$は、式(1)の$${A}$$が$${T^{-1}AT}$$に置き換わるだけなので、

$$
\bm{z}(t) = e^{T^{-1}AT\,t}\bm{z}(0)\tag{10}
$$

となる。$${\bm{x}(t)}$$に戻すと、

$$
\begin{align}
\bm{z}(t) &= e^{T^{-1}AT\,t}\bm{z}(0)\notag\\
T^{-1}\bm{x}(t)&= e^{T^{-1}AT\,t}\bm{z}(0)\notag\\
\bm{x}(t)&= Te^{T^{-1}AT\,t}\bm{z}(0)\tag{11}\\
\end{align}
$$

となる。ここで、$${e^{T^{-1}AT\,t}}$$は、

$$
e^{T^{-1}AT\,t}=
\begin{bmatrix}
e^{\lambda_{1}t} & 0 & \cdots & 0\\
0& e^{\lambda_{2}t} & \cdots & 0\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
0 & 0 & \cdots & e^{\lambda_{n}t} \\
\end{bmatrix}\tag{12}
$$

となる。よって、式(11)は、

$$
\begin{align}
\bm{x}(t)&=
\left[\bm{v}_{1} \,\bm{v}_{2} \,\cdots \, \bm{v}_{n} \right]
\begin{bmatrix}
e^{\lambda_{1}t} & 0 & \cdots & 0\\
0& e^{\lambda_{2}t} & \cdots & 0\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
0 & 0 & \cdots & e^{\lambda_{n}t} \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
z_{1}(0)\\
z_{2}(0)\\
\vdots\\
z_{n}(0)
\end{bmatrix}\notag\\
&= 
\left[e^{\lambda_{1}t} \bm{v}_{1} \quad e^{\lambda_{2}t} \bm{v}_{2}\quad \cdots \quad e^{\lambda_{n}t} \bm{v}_{n} \right]
\begin{bmatrix}
z_{1}(0)\\
z_{2}(0)\\
\vdots\\
z_{n}(0)
\end{bmatrix}\notag\\
&= e^{\lambda_{1}t}z_{1}(0)\bm{v}_{1}+ e^{\lambda_{2}t}z_{2}(0)\bm{v}_{2}+\cdots+ e^{\lambda_{n}t}z_{n}(0)\bm{v}_{n}\tag{13}
\end{align}
$$

となる。式(13)の各項$${(e^{\lambda_{1}t}z_{1}(0)\bm{v}_{1},e^{\lambda_{2}t}z_{2}(0)\bm{v}_{2}, \cdots,e^{\lambda_{n}t}z_{n}(0)\bm{v}_{n})}$$をモードと呼び、式(13)のようにモードの線形結合で表すことをモード展開という。
式(13)において、時間$${t}$$に関係があるのは$${e^{\lambda_{i}t}(i=1,2,\cdots,n)}$$の部分のみである。$${\lambda_{i}}$$は、係数行列$${A}$$の固有値であるため、自由応答の時間変化に係数行列$${A}$$の固有値が関係していることがわかる。

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