ベクトルオペレータ

定義

大きさ$${1}$$で偏角が$${120\degree}$$のベクトルをベクトルオペレータといい、$${a}$$で表す。

$$
a = 1\angle 120\degree\tag{1}
$$

別の書き方

ベクトルオペレータ$${a}$$は、オイラーの公式を用いて、次のようにも書き表せる。

$$
a = e^{j\frac{2}{3}\pi}=\cos\left(\frac{2}{3}\pi\right)+j\sin\left(\frac{2}{3}\pi\right)=-\frac{1}{2}+j\frac{\sqrt{3}}{2}\tag{2}
$$

ベクトルオペレータの性質

・$${a^{2}}$$

$$
\begin{align}
&\notag\\
a^{2}&=a\times a \notag\\
&= \left(-\frac{1}{2}+j\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \times\left(-\frac{1}{2}+j\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\notag\\
&= \left(-\frac{1}{2}\right)^{2}-j\frac{1}{2}\frac{\sqrt{3}}{2}-j\frac{1}{2}\frac{\sqrt{3}}{2}-\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\notag\\
&=\frac{1}{4}-j\frac{2\sqrt{3}}{4}-\frac{3}{4}\notag\\
&= -\frac{1}{2}-j\frac{\sqrt{3}}{2}\tag{3}\\
\end{align}
$$

または指数の法則から、

$$
\begin{align}
&\notag\\
a^{2}&=a\times a\notag\\
&=e^{j\frac{2}{3}\pi}e^{j\frac{2}{3}\pi}\notag\\
&= e^{j\left(\frac{2}{3}\pi+\frac{2}{3}\pi\right)}\notag\\
&=e^{j\frac{4}{3}\pi}\tag{4}\\
\end{align}
$$

となる。
つまり、ベクトルオペレータをかけるということは、大きさを変えずに、ベクトルを$${120\degree}$$回転させる操作になる。

・$${1+a+a^{2}=0}$$

$$
\begin{align}
1+a+a^{2}&=1+\left(-\frac{1}{2}+j\frac{\sqrt{3}}{2}\right)+\left(-\frac{1}{2}-j\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\notag\\
&=0\tag{5}
\end{align}
$$

・$${a^{3}=1}$$

$$
\begin{align}
&\notag\\
a^{3}&=a\times a^{2}\notag\\
&= e^{j\frac{2}{3}\pi}e^{j\frac{4}{3}\pi}\notag\\
&= e^{j\left(\frac{2}{3}\pi+\frac{4}{3}\pi\right)}\notag\\
&= e^{j2\pi}\notag\\
&= \cos(2\pi)+j\sin(2\pi)\notag\\
&= 1\tag{6}
\end{align}
$$

・$${\frac{a-1}{a^{2}-a}=a^{2}}$$
$${1+a+a^{2}=0}$$を用いることで証明できる。

$$
\begin{align}
&\notag\\
\frac{a-1}{a^{2}-a}&=\frac{a-\left(a+a^{2}\right)}{a^{2}-\left(1+a^{2}\right)}\notag\\
&=\frac{-a^{2}}{-1}\notag\\
&= a^{2}\tag{7}
\end{align}
$$

ベクトルオペレータの用途

ベクトルオペレータは、三相交流を表す場合に用いたり、対称座標法などでも用いられる。

サイト

https://sites.google.com/view/elemagscience/%E3%83%9B%E3%83%BC%E3%83%A0