%インピーダンス
定義
図1において、相電圧に対する電圧降下の割合を%インピーダンスといい、
$$
\%z = \frac{ZI}{E}\times 100 \quad[\%] \tag{1}
$$
で定義する。
%インピーダンスの注意点として、定義では、相電圧になっていることと大きさを用いている点である。そのため、線間電圧を用いる場合は、相電圧に変換する必要がある。また、大きさを用いるため、大きさが分かっていない場合は求める必要がある。
%インピーダンスの必要性
%インピーダンスは、電力系統の解析の中で主に用いられる。では、なぜ%インピーダンスという考え方が必要なのか。分かりやすい例として図2のような単相変圧器を考える。
図2において、1次側からみた%インピーダンス$${\%z_{1}}$$は、式(1)より、
$$
\%z_{1} = \frac{Z_{1}I_{1}}{E_{1}} \times100 \quad[\%] \tag{2}
$$
である。一方、2次側からみた%インピーダンス$${\%z_{2}}$$は、
$$
\%z_{2} = \frac{Z_{2}I_{2}}{E_{2}} \times100 \quad[\%]\tag{3}
$$
である。式(2)と式(3)は、一見すると違う値に思えるが、単相変圧器の巻数比$${a}$$を用いて、式(2)を変形すると、
$$
\begin{align}
\%z_{1} &= \frac{Z_{1}I_{1}}{E_{1}} \times100 \notag \\
&= \frac{a^{2}Z_{2}\frac{I_{2}}{a}}{aE_{2}} \times 100\notag \\
&= \frac{Z_{2}I_{2}}{E_{2}}\times 100 = \%z_{2}\quad[\%] \tag{4}
\end{align}
$$
となり、%インピーダンスは、1次側も2次側も同じ値であることがわかる。このように％インピーダンスを用いることで、1次側や2次側の区別をしなくてよくなり、扱いが楽になる。
%インピーダンスと単位法の関係
式(1)において、相電圧を基準相電圧$${E_{\rm{n}}}$$、電流を基準電流$${I_{\rm{n}}}$$とすれば、
$$
\begin{align}
\%z \,[\%]&= \frac{ZI_{\rm{n}}}{E_{\rm{n}}}\times 100 \notag \\
&= \frac{Z}{\frac{E_{\rm{n}}}{I_{\rm{n}}}}\times 100 \notag \\
&=\frac{Z}{Z_{\rm{n}}}\times 100 \tag{5}
\end{align}
$$
となる。ここで、単位法を用いれば、式(5)の$${\frac{Z}{Z_{\rm{n}}}}$$は基準インピーダンスに対するインピーダンス比になっているため、
$$
\%z\,[\%] = Z\,[\rm{p.u.}]\times 100 \tag{6}
$$
の関係があることがわかる。
電験でよく使う形
電験では、式(1)の定義式で使うことはあまりない。そこで、式(1)を色々と変形してみる。
$$
\begin{align}
\%z &= \frac{ZI}{E}\times 100 \quad[\%] \notag \\
&= \frac{ZI}{\frac{V}{\sqrt{3}}}\times 100 \notag \\
&= \frac{\sqrt{3}IZ}{V}\times 100 \notag \\
&=\frac{\sqrt{3}IZ}{V}\times \frac{V}{V}\times 100 \notag \\
&=\frac{\sqrt{3}VIZ}{V^{2}} \times 100 \notag \\
&=\frac{P_{\rm{s}}Z}{V^{2}} \times 100 \tag{7}
\end{align}
$$
式(7)の変形では、相電圧だと扱いにくいので、線間電圧に直している。また、分子が$${\sqrt{3}I}$$となることから、線間電圧をかけることで、皮相電力の式が作れそうだという発想から、分母分子に線間電圧をかけている。式(7)の形は、電験で好んで使われる。また、電験1種、2種の取得を目指す人は、式(7)を覚えるよりも式(1)の定義を理解して覚えることで、わざわざ式(7)を暗記する必要はなくなる。個人的には、式(5)が文字も少ないので、式(5)からスタートすることが多い。
式(5)からスタートして、もう1つ大事な式を導く。式(5)の$${Z}$$を短絡時のインピーダンスとしてみる。短絡前は基準電圧$${E_{\rm{n}}}$$なので、式(5)は、
$$
\begin{align}
\%z &= \frac{Z}{Z_{\rm{n}}}\times 100 \notag\\
&=\frac{\frac{E_{\rm{n}}}{I_{s}}}{\frac{E_{\rm{n}}}{I_{n}}}\times 100\notag\\
&=\frac{I_{\rm{n}}}{I_{\rm{s}}}\times 100\tag{8}
\end{align}
$$
となる。式(8)は、%インピーダンスが短絡電流$${I_{\rm{s}}}$$と基準電流$${I_{\rm{n}}}$$の比で求まることを意味する。この形も電験では、よく使われるが式(5)から導けるので、暗記の必要性はないと考える。さらに式(8)の分母分子に$${\sqrt{3}V}$$をかけることで、
$$
\begin{align}
\%z &= \frac{I_{\rm{n}}}{I_{\rm{s}}}\times 100 \notag \\
&= \frac{I_{\rm{n}}}{I_{\rm{s}}} \times \frac{\sqrt{3}V}{\sqrt{3}V} \times 100 \notag\\
&= \frac{\sqrt{3}VI_{\rm{n}}}{\sqrt{3}VI_{\rm{s}}} \times 100 \notag\\
&=\frac{P_{\rm{n}}}{P_{\rm{s}}} \times 100 \tag{9}
\end{align}
$$
が求まる。式(9)は、短絡容量$${P_{\rm{s}}}$$と基準容量$${P_{\rm{n}}}$$の比から%インピーダンスを求めれることを示している。
%インピーダンスの換算
%インピーダンスは、式(9)でみたように基準容量をもとに決定される。言い換えれば、基準容量が同じ%インピーダンスは、比較ができるようになる。そこで、異なる基準容量の%インピーダンスを新しい基準容量に換算することを考える。
基準容量が10 [MVA]の%インピーダンス$${\%z_{1}}$$があるとする。これを新しい基準容量100 [MVA]の%インピーダンス$${\%z_{2}}$$に換算することを考える。
式(7)において、電流$${I}$$を変化させると皮相電力$${P_{\rm{s}}}$$を変化させることができる。一般に電力系統では、電圧は一定に保たれている。また、ある範囲におけるインピーダンスは一定であるはずなので、%インピーダンスは、容量に比例する。
よって、元の基準容量を$${P_{\rm{n}}}$$、新しい基準容量を$${P_{\rm{new}}}$$とすれば、次の関係が成り立つ。
$$
\%z_{1} : \%z_{2} = P_{\rm{n}}:P_{\rm{new}} \tag{10}
$$
よって、式(10)より、基準容量が10 [MVA]の%インピーダンス$${\%z_{1}}$$を新しい基準容量100 [MVA]の%インピーダンス$${\%z_{2}}$$に換算すると、
$$
\begin{align}
\%z_{1} : \%z_{2} &= 10 :100 \notag \\
\%z_{2} &= \frac{100\,\%z_{1} }{10} \notag \\
&= 10\,\%z_{1}\quad[\%] \tag{11}
\end{align}
$$
となる。
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単位法
https://note.com/preview/ndb68744652f7?prev_access_key=aaa3a7d9b749722582398d5ddac39ab2
サイト
https://sites.google.com/view/elemagscience/%E3%83%9B%E3%83%BC%E3%83%A0
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