状態遷移行列　現代制御

定義

指数関数$${e^{at}}$$をマクローリン展開すると、

$$
e^{at} = 1+at+\frac{1}{2!}a^{2}t^{2}+\cdots+\frac{1}{n!}a^{n}t^{n}+\cdots\tag{1}
$$

となる。この$${a}$$を$${n\times n}$$の正方行列$${A}$$に置き換えた、

$$
e^{At} = I+At+\frac{1}{2!}A^{2}t^{2}+\cdots+\frac{1}{n!}A^{n}t^{n}+\cdots\tag{2}
$$

を状態遷移行列$${e^{At} }$$として定義する。$${I}$$は$${n}$$次単位行列である。

性質

① $${\frac{{\rm{d}}}{{\rm{d}}t}e^{At}=Ae^{At}=e^{At}A}$$

証明)

$$
\begin{align}
\frac{{\rm{d}}}{{\rm{d}}t}e^{At}&=\frac{{\rm{d}}}{{\rm{d}}t}\left[I+At+\frac{1}{2!}A^{2}t^{2}+\cdots+\frac{1}{n!}A^{n}t^{n}+\cdots\right]\notag\\
&=0+A+\frac{2}{2!}A^{2}t+\cdots+\frac{n}{n!}A^{n}t^{n-1}+\cdots\notag\\
&= A+A^{2}t+\cdots+\frac{1}{(n-1)!}A^{n}t^{n-1}+\cdots\notag\\
&=A\left(I+At+\cdots+\frac{1}{(n-1)!}A^{n-1}t^{n-1}+\cdots\right)\notag\\
&=Ae^{At}\tag{3}
\end{align}
$$

また、式(3)で$${t}$$は、スカラーであるため、$${At}$$と$${tA}$$は同じである。そのため、行列$${A}$$を右側に取り出すことも可能であるので、

$$
\begin{align}
\frac{{\rm{d}}}{{\rm{d}}t}e^{At}
&= A+A^{2}t+\cdots+\frac{1}{(n-1)!}A^{n}t^{n-1}+\cdots\notag\\
&=\left(I+At+\cdots+\frac{1}{(n-1)!}A^{n-1}t^{n-1}+\cdots\right)A\notag\\
&=e^{At}A\tag{4}
\end{align}
$$

となり、$${\frac{{\rm{d}}}{{\rm{d}}t}e^{At}=Ae^{At}=e^{At}A}$$が成り立つ。

② 行列$${A}$$が零行列または、$${t=0}$$である時、$${e^{At}=I}$$となる。
証明)
$${A=\bm{0}}$$のとき

$$
\begin{align}
e^{At}&= I+At+\frac{1}{2!}A^{2}t^{2}+\cdots+\frac{1}{n!}A^{n}t^{n}+\cdots\notag\\
&=I+\bm{0} t+\frac{1}{2!}\bm{0}^{2}t^{2}+\cdots+\frac{1}{n!}\bm{0}^{n}t^{n}+\cdots\notag\\
&= I\tag{5}
\end{align}
$$

$${t=0}$$のとき

$$
\begin{align}
e^{At}&= I+At+\frac{1}{2!}A^{2}t^{2}+\cdots+\frac{1}{n!}A^{n}t^{n}+\cdots\notag\\
&=I+A0+\frac{1}{2!}A^{2}0^{2}+\cdots+\frac{1}{n!}A^{n}0^{n}+\cdots\notag\\
&= I\tag{6}
\end{align}
$$

③ $${AB=BA}$$を満足する正方行列$${A,B}$$に対して、$${e^{At}e^{Bt}=e^{(A+B)t}}$$となる。
証明)

$$
\begin{align}
e^{At}e^{Bt}&= \left(I+At+\frac{1}{2!}A^{2}t^{2}+\cdots+\frac{1}{n!}A^{n}t^{n}+\cdots\right)\notag\\
&\qquad\left(I+Bt+\frac{1}{2!}B^{2}t^{2}+\cdots+\frac{1}{n!}B^{n}t^{n}+\cdots\right)\notag\\
&=I\left(I+Bt+\frac{1}{2!}B^{2}t^{2}+\cdots+\frac{1}{n!}B^{n}t^{n}+\cdots\right)\notag\\
&\qquad +At\left(I+Bt+\frac{1}{2!}B^{2}t^{2}+\cdots+\frac{1}{n!}B^{n}t^{n}+\cdots\right)\notag\\
&\qquad +\frac{1}{2!}A^{2}t^{2}\left(I+Bt+\frac{1}{2!}B^{2}t^{2}+\cdots+\frac{1}{n!}B^{n}t^{n}+\cdots\right)\notag\\
&\qquad +\cdots \notag\\
&= I+At+Bt+ABt^{2}+\frac{1}{2!}A^{2}t^{2}+\frac{1}{2!}B^{2}t^{2}+\cdots\notag\\
&= I+At+Bt+\frac{2}{2!}ABt^{2}+\frac{1}{2!}A^{2}t^{2}+\frac{1}{2!}B^{2}t^{2}+\cdots\notag\\
&= I+(A+B)t+\frac{1}{2!}(A+B)^{2}t^{2}+\cdots\notag\\
&= e^{(A+B)t}\tag{7}
\end{align}
$$

$${(A+B)^{2}=A^{2}+AB+BA+B^{2}=A^{2}+2AB+B^{2}}$$の関係を用いている。$${AB=BA}$$の関係がないと、成り立たない。

④ 実数$${t_{1},t_{2}}$$に対し、$${e^{At_{1}}e^{At_{2}}=e^{A(t_{1}+t_{2})}}$$となる。
証明)
③の証明と同様に、

$$
\begin{align}
e^{At_{1}}e^{At_{2}}&= \left(I+At_{1}+\frac{1}{2!}A^{2}{t_{1}}^{2}+\cdots+\frac{1}{n!}A^{n}{t_{1}}^{n}+\cdots\right)\notag\\
&\qquad \left(I+At_{2}+\frac{1}{2!}A^{2}{t_{2}}^{2}+\cdots+\frac{1}{n!}A^{n}{t_{2}}^{n}+\cdots\right)\notag\\
&=I\left(I+At_{2}+\frac{1}{2!}A^{2}{t_{2}}^{2}+\cdots+\frac{1}{n!}A^{n}{t_{2}}^{n}+\cdots\right)\notag\\
&\qquad +At_{1}\left(I+At_{2}+\frac{1}{2!}A^{2}{t_{2}}^{2}+\cdots+\frac{1}{n!}A^{n}{t_{2}}^{n}+\cdots\right)\notag\\
&\qquad +\frac{1}{2!}A^{2}{t_{1}}^{2}\left(I+At_{2}+\frac{1}{2!}A^{2}{t_{2}}^{2}+\cdots+\frac{1}{n!}A^{n}{t_{2}}^{n}+\cdots\right)\notag\\
&\qquad +\cdots \notag\\
&= I+At_{1}+At_{2}+A^{2}t_{1}t_{2}+\frac{1}{2!}A^{2}{t_{1}}^{2}+\frac{1}{2!}A^{2}{t_{2}}^{2}+\cdots\notag\\
&= I+At_{1}+At_{2}+\frac{2}{2!}A^{2}t_{1}t_{2}+\frac{1}{2!}A^{2}{t_{1}}^{2}+\frac{1}{2!}A^{2}{t_{2}}^{2}+\cdots\notag\\
&=I+A(t_{1}+t_{2})+\frac{1}{2!}A^{2}{(t_{1}+t_{2})}^{2}+\cdots\notag\\
&= e^{A(t_{1}+t_{2})}\tag{8}
\end{align}
$$

$${(t_{1}+t_{2})^{2}={t_{1}}^{2}+2t_{1}t_{2}+{t_{2}}^{2}}$$の関係を用いている。

⑤ $${(e^{At})^{-1}=e^{-At}}$$
証明)
性質④において、$${t_{1}=t}$$、$${t_{2}=-t}$$とすると、

$$
\begin{align}
e^{At}e^{-At}&= e^{A(t-t)}\notag\\
&= e^{A0}=I\tag{9}
\end{align}
$$

となる。$${e^{A0}=I}$$は、性質②を用いている。
逆行列の定義から、$${(e^{At})^{-1}=e^{-At}}$$が成り立つ。
性質⑤は、行列$${A}$$に逆行列が存在するかどうかに関わらず、$${e^{At}}$$には、逆行列が存在することを示している。

サイト

https://sites.google.com/view/elemagscience/%E3%83%9B%E3%83%BC%E3%83%A0