送配電線路の送電電力

送電電力

送配電線路の多くは三相3線式である。そのため、三相3線式における送電電力の式を導出していく。
図1に示すような回路を考える。

図1 送配電線路

図1において、
$${\dot{V}_{\rm{s}}}$$：送電端電圧(相電圧)、
$${\dot{V}_{\rm{r}}}$$：受電端電圧(相電圧)、
$${R}$$：線路抵抗、
$${jX}$$：線路リアクタンス、
$${\dot{I}}$$：線路電流
である。

送電電力は1相分を考えて最後に3倍する。

線路電流$${\dot{I}}$$は、受電端電圧$${\dot{V}_{\rm{r}}}$$を基準、受電端電圧$${\dot{V}_{\rm{r}}}$$と送電端電圧$${\dot{V}_{\rm{s}}}$$の位相差を$${\delta}$$、$${V_{\rm{r}}}$$と$${V_{\rm{s}}}$$をそれぞれ線間電圧の大きさとすれば、それぞれの相電圧の大きさは、$${\frac{V_{\rm{r}}}{\sqrt{3}}}$$、$${\frac{V_{\rm{s}}}{\sqrt{3}}}$$となるので、

$$
\begin{align}
\dot{I} &= \frac{\dot{V}_{\rm{s}}-\dot{V}_{\rm{r}}}{R+jX}\notag\\
&\notag\\
&= \frac{\frac{V_{\rm{s}}}{\sqrt{3}} \angle \delta -\frac{V_{\rm{r}}}{\sqrt{3}} \angle \, 0\degree}{R+jX}\notag\\
&\notag\\
&= \frac{\frac{V_{\rm{s}}}{\sqrt{3}} (\cos(\delta)+j\sin(\delta)) -\frac{V_{\rm{r}}}{\sqrt{3}}}{R+jX}\notag\\
&\notag\\
&=  \frac{V_{\rm{s}} (\cos(\delta)+j\sin(\delta)) -V_{\rm{r}}}{\sqrt{3}(R+jX)}\times \frac{(R-jX)}{(R-jX)} \notag\\
&\notag\\
&=\frac{((V_{\rm{s}} \cos(\delta)- V_{\rm{r}}) +jV_{\rm{s}}\sin(\delta))(R-jX) }{\sqrt{3}(R^{2}+X^{2})}\notag\\
&\notag\\
&= \frac{(R(V_{\rm{s}} \cos(\delta)- V_{\rm{r}}) +XV_{\rm{s}}\sin(\delta))}{\sqrt{3}(R^{2}+X^{2})} \notag\\
& \qquad \qquad-j  \frac{(X(V_{\rm{s}} \cos(\delta)- V_{\rm{r}}) -RV_{\rm{s}}\sin(\delta))}{\sqrt{3}(R^{2}+X^{2})}\notag\\
\end{align}
$$

と求めることができるので、送電電力$${S}$$は、

$$
\begin{align}
S &= 3\dot{V}_{\rm{r}}\overline{\dot{I}}\notag\\
&= 3\times\dot{V}_{\rm{r}}\angle \,0\degree \times \biggl (\frac{(R(V_{\rm{s}} \cos(\delta)- V_{\rm{r}}) +XV_{\rm{s}}\sin(\delta))}{\sqrt{3}(R^{2}+X^{2})} \notag\\
& \qquad \qquad \qquad+j  \frac{(X(V_{\rm{s}} \cos(\delta)- V_{\rm{r}}) -RV_{\rm{s}}\sin(\delta))}{\sqrt{3}(R^{2}+X^{2})}\biggr ) \notag\\
&\notag\\
&= 3\times \frac{V_{\rm{r}}}{\sqrt{3}}\times  \biggl (\frac{(R(V_{\rm{s}} \cos(\delta)- V_{\rm{r}}) +XV_{\rm{s}}\sin(\delta))}{\sqrt{3}(R^{2}+X^{2})} \notag\\
& \qquad \qquad \qquad+j   \frac{(X(V_{\rm{s}} \cos(\delta)- V_{\rm{r}}) -RV_{\rm{s}}\sin(\delta))}{\sqrt{3}(R^{2}+X^{2})}\biggr ) \notag\\
&\notag\\
&= 3\times\biggl ( \frac{(R(V_{\rm{s}}V_{\rm{r}} \cos(\delta)- {V_{\rm{r}}}^{2}) +XV_{\rm{s}}V_{\rm{r}}\sin(\delta))}{3(R^{2}+X^{2})} \notag\\
& \qquad \qquad \qquad +j   \frac{(X(V_{\rm{s}} V_{\rm{r}} \cos(\delta)- {V_{\rm{r}}}^{2}) -RV_{\rm{s}} V_{\rm{r}}\sin(\delta))}{3(R^{2}+X^{2})}\biggr )\notag\\
&= \frac{(R(V_{\rm{s}}V_{\rm{r}} \cos(\delta)- {V_{\rm{r}}}^{2}) +XV_{\rm{s}}V_{\rm{r}}\sin(\delta))}{R^{2}+X^{2}} \notag\\
& \qquad \qquad \qquad +j   \frac{(X(V_{\rm{s}} V_{\rm{r}} \cos(\delta)- {V_{\rm{r}}}^{2}) -RV_{\rm{s}} V_{\rm{r}}\sin(\delta))}{R^{2}+X^{2}}\tag{1}\\
\end{align}
$$

と求まる。

有効電力$${P}$$は実数部なので、

$$
\begin{align}
&\notag\\
P &= \frac{(R(V_{\rm{s}}V_{\rm{r}} \cos(\delta)- {V_{\rm{r}}}^{2}) +XV_{\rm{s}}V_{\rm{r}}\sin(\delta))}{R^{2}+X^{2}}\tag{2}\\
\end{align}
$$

である。

無効電力$${Q}$$は虚数部なので、

$$
\begin{align}
&\notag\\
Q &= \frac{(X(V_{\rm{s}} V_{\rm{r}} \cos(\delta)- {V_{\rm{r}}}^{2}) -RV_{\rm{s}} V_{\rm{r}}\sin(\delta))}{R^{2}+X^{2}}\tag{3}\\
\end{align}
$$

となる。

ここで、線路抵抗$${R}$$が線路リアクタンス$${X}$$よりも十分小さいとすると、線路抵抗$${R}$$は無視できるので、式(1)から(3)は、

皮相電力$${S}$$

$$
\begin{align}
&\notag\\
S &= \frac{(R(V_{\rm{s}}V_{\rm{r}} \cos(\delta)- {V_{\rm{r}}}^{2}) +XV_{\rm{s}}V_{\rm{r}}\sin(\delta))}{R^{2}+X^{2}} \notag\\
& \qquad \qquad \qquad +j   \frac{(X(V_{\rm{s}} V_{\rm{r}} \cos(\delta)- {V_{\rm{r}}}^{2}) -RV_{\rm{s}} V_{\rm{r}}\sin(\delta))}{R^{2}+X^{2}}\notag\\
&=  \frac{XV_{\rm{s}}V_{\rm{r}}\sin(\delta)}{X^{2}} +j \frac{X(V_{\rm{s}} V_{\rm{r}} \cos(\delta)- {V_{\rm{r}}}^{2})}{X^{2}}\notag\\
&=  \frac{V_{\rm{s}}V_{\rm{r}}\sin(\delta)}{X} +j \frac{V_{\rm{s}} V_{\rm{r}} \cos(\delta)- {V_{\rm{r}}}^{2}}{X}\notag\\
\end{align}
$$

有効電力$${P}$$

$$
\begin{align}
&\notag\\
P &= \frac{(R(V_{\rm{s}}V_{\rm{r}} \cos(\delta)- {V_{\rm{r}}}^{2}) +XV_{\rm{s}}V_{\rm{r}}\sin(\delta))}{R^{2}+X^{2}}\notag\\
&\notag\\
&=\frac{XV_{\rm{s}}V_{\rm{r}}\sin(\delta)}{X^{2}}\notag\\
&\notag\\
&=\frac{V_{\rm{s}}V_{\rm{r}}\sin(\delta)}{X}\notag\\
\end{align}
$$

無効電力$${Q}$$

$$
\begin{align}
&\notag\\
Q &= \frac{(X(V_{\rm{s}} V_{\rm{r}} \cos(\delta)- {V_{\rm{r}}}^{2})-RV_{\rm{s}} V_{\rm{r}}\sin(\delta))}{R^{2}+X^{2}} \notag\\
&\notag\\
&= \frac{X(V_{\rm{s}} V_{\rm{r}} \cos(\delta)- {V_{\rm{r}}}^{2}) }{X^{2}} \notag\\
&\notag\\
&= \frac{V_{\rm{s}} V_{\rm{r}} \cos(\delta)- {V_{\rm{r}}}^{2} }{X} \notag\\
\end{align}
$$

となる。

サイト

https://sites.google.com/view/elemagscience/%E3%83%9B%E3%83%BC%E3%83%A0