平成22年度 理論科目 問1 電験3種過去問
問題
考え方
この問題は、点電荷の電位に関する問題である。
点電荷の電位は、無限遠点を基準電位($${0\,{\rm{V}}}$$)、電荷の位置を原点とすると、真空中では、
$$
V = \frac{1}{4\pi \varepsilon_{0}}\frac{Q}{r} \quad [{\rm{V}}]\tag{1}
$$
$${Q \,[{\rm{C}}]}$$：電荷量、$${r\,[{\rm{m}}]}$$：点電荷からの距離、$${\varepsilon \,[{\rm{F/m}}]}$$：真空の誘電率
で求まる。
問題文より無限遠点は除くとなっていることに注意し、各領域において電位がどのようになるかを見ていく。
解答例
・a 領域
図1に示すように、点Aの正電荷から距離$${r}$$の位置の電位$${V_{A}}$$は、式(1)より、
$$
\begin{align}
V_{A} &= \frac{1}{4\pi \varepsilon_{0}}\frac{4Q}{r} \tag{2}\\
\end{align}
$$
で求まる。
同様に、負電荷による電位$${V_{B}}$$は、距離が$${r+l}$$になることに注意すると、
$$
\begin{align}
V_{B} &= -\frac{1}{4\pi \varepsilon_{0}}\frac{Q}{r+l} \tag{3}\\
\end{align}
$$
となる。
$${V_{A}+V_{B}=0}$$となる、点Pが存在するかを考える。
式(2)と式(3)より、a 領域では、必ず$${V_{A}>V_{B}}$$である。
なぜならば、電荷量は正電荷の方が大きく、また距離も正電荷の方が短いためである。
実際に$${V_{A}+V_{B}=0}$$を計算しても、
$$
\begin{align}
V_{A}+V_{B}&=0\notag\\
\frac{1}{4\pi \varepsilon_{0}}\frac{4Q}{r} -\frac{1}{4\pi \varepsilon_{0}}\frac{Q}{r+l} &= 0\notag\\
\frac{4}{r}-\frac{1}{r+l}&=0\notag\\
\frac{4}{r}&=\frac{1}{r+l}\notag\\
4\left(r+l\right) &= r \notag\\
3r&=-4l\notag\\
r &= -\frac{4}{3}l\tag{4}
\end{align}
$$
となり、距離がマイナスの値になる。今は、点Aから左側を正として距離$${r}$$をとっているため、距離がマイナスの値になることは許されない。
したがって、無限遠点以外では、a 領域で電位が$${0\,[{\rm{V}}]}$$となる点は存在しない。
・ab 領域
次に図2に示すab 領域を考える。
点Aの正電荷から距離$${r}$$の位置の電位$${V_{A}}$$は、
$$
\begin{align}
V_{A} &= \frac{1}{4\pi \varepsilon_{0}}\frac{4Q}{r} \tag{5}\\
\end{align}
$$
で求まる。
同様に、負電荷による電位$${V_{B}}$$は、距離が$${l-r}$$になることに注意すると、
$$
\begin{align}
V_{B} &= -\frac{1}{4\pi \varepsilon_{0}}\frac{Q}{l-r} \tag{6}\\
\end{align}
$$
となる。
$${V_{A}+V_{B}=0}$$となる、点Pが存在するかを考える。
$${V_{A}+V_{B}=0}$$を計算すると、
$$
\begin{align}
V_{A}+V_{B}&=0\notag\\
\frac{1}{4\pi \varepsilon_{0}}\frac{4Q}{r} -\frac{1}{4\pi \varepsilon_{0}}\frac{Q}{l-r} &= 0\notag\\
\frac{4}{r}-\frac{1}{l-r}&=0\notag\\
\frac{4}{r}&=\frac{1}{l-r}\notag\\
4\left(l-r\right) &= r \notag\\
5r&=4l\notag\\
r &= \frac{4}{5}l\tag{7}
\end{align}
$$
となり、$${r=\frac{4}{5}l}$$の位置に、電位が$${0\,[{\rm{V}}]}$$となる点Pが存在する。
・b 領域
次に図3に示すb 領域を考える。
点Bの負電荷から距離$${r}$$の位置の電位$${V_{B}}$$は、
$$
\begin{align}
V_{B} &= -\frac{1}{4\pi \varepsilon_{0}}\frac{Q}{r} \tag{8}\\
\end{align}
$$
で求まる。
同様に、正電荷による電位$${V_{A}}$$は、距離が$${r+l}$$になることに注意すると、
$$
\begin{align}
V_{A} &= \frac{1}{4\pi \varepsilon_{0}}\frac{4Q}{r+l} \tag{9}\\
\end{align}
$$
となる。
$${V_{A}+V_{B}=0}$$となる、点Pが存在するかを考える。
$${V_{A}+V_{B}=0}$$を計算すると、
$$
\begin{align}
V_{A}+V_{B}&=0\notag\\
\frac{1}{4\pi \varepsilon_{0}}\frac{4Q}{r+l} -\frac{1}{4\pi \varepsilon_{0}}\frac{Q}{r} &= 0\notag\\
\frac{4}{r+l}-\frac{1}{r}&=0\notag\\
\frac{4}{r+l}&=\frac{1}{r}\notag\\
4r &= r+l \notag\\
3r&=l\notag\\
r &= \frac{1}{3}l\tag{10}
\end{align}
$$
となり、$${r=\frac{1}{3}l}$$の位置に、電位が$${0\,[{\rm{V}}]}$$となる点Pが存在する。
よって、答えは(2)である。
サイト
https://sites.google.com/view/elemagscience/%E3%83%9B%E3%83%BC%E3%83%A0
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