状態空間表現　現代制御

対象とするシステム

対象とするシステムとして、1入力1出力システムを対象に考えていく。また、線形でシステムが記述され、係数が時間によって変化しない定数であるものとする。多入力多出力システムや非線形微分方程式で記述されるような非線形システムなどは対象外である。

RLC回路の微分方程式

図1 RLC回路

図1に示すようなRLC回路を考える。
入力を電圧$${v_{i}(t)}$$、出力をコンデンサの電圧$${v_{o}(t)}$$としたときのRLC回路の微分方程式を考える。
抵抗で発生する電圧$${v_{R}(t)}$$

$$
v_{R}(t) = Ri(t)\tag{1}
$$

コイルで発生する電圧$${v_{L}(t)}$$

$$
v_{L}(t) = L\frac{{\rm{d}}i(t)}{{\rm{d}}t}\tag{2}
$$

コンデンサで発生する電圧$${v_{C}(t)}$$
コンデンサの電荷を$${q(t)}$$とする。

$$
v_{C}(t) = \frac{q(t)}{C} \tag{3}
$$

式(1)、式(2)および式(3)から、入力と出力の関係式は、

$$
\begin{align}
v_{o}(t) &= \frac{q(t)}{C} \tag{4}\\
v_{R}(t)+v_{L}(t)+v_{C}(t) &= v_{i}(t)\notag\\
Ri(t)+L\frac{{\rm{d}}i(t)}{{\rm{d}}t}+\frac{q(t)}{C}&= v_{i}(t)\notag\\
Ri(t)+L\frac{{\rm{d}}i(t)}{{\rm{d}}t}+v_{o}(t)&= v_{i}(t)\tag{5}\\
\end{align}
$$

となるが、電流$${i(t)}$$は、電荷$${q(t)}$$を用いて、

$$
\begin{align}
i(t) &= \frac{{\rm{d}}q(t)}{{\rm{d}}t} \tag{6}\\
\end{align}
$$

と表せるので、

$$
\begin{align}
Ri(t)+L\frac{{\rm{d}}i(t)}{{\rm{d}}t}+v_{o}(t)&= v_{i}(t)\notag\\
R \frac{{\rm{d}}q(t)}{{\rm{d}}t}+L\frac{{\rm{d}}}{{\rm{d}}t} \frac{{\rm{d}}q(t)}{{\rm{d}}t}+v_{o}(t)&= v_{i}(t)\notag\\
R \frac{{\rm{d}}q(t)}{{\rm{d}}t}+L\frac{{\rm{d}}^{2}q(t)}{{\rm{d}}t^{2}}+v_{o}(t)&= v_{i}(t)\tag{7}\\
\end{align}
$$

となる。式(4)から、$${q(t)=Cv_{o}(t)}$$となるので、式(7)は、

$$
LC\frac{{\rm{d}}^{2}v_{o}(t)}{{\rm{d}}t^{2}}+RC\frac{{\rm{d}}v_{o}(t)}{{\rm{d}}t}+v_{o}(t)= v_{i}(t)\tag{8}
$$

となる。

状態空間表現

式(8)を行列表示することを考える。
出力である$${v_{o}(t)}$$を$${x_{1}(t)}$$、出力の1階微分$${\dot{v}_{o}(t)}$$を$${x_{2}(t)}$$とおくと、式(8)は、

$$
\begin{align}
LC\frac{{\rm{d}}^{2}v_{o}(t)}{{\rm{d}}t^{2}}+RC\frac{{\rm{d}}v_{o}(t)}{{\rm{d}}t}+v_{o}(t)&= v_{i}(t)\notag\\
LC\dot{x}_{2}(t)+RCx_{2}(t)+x_{1}(t) &= v_{i}(t)\notag\\
\dot{x}_{2}(t) &= -\frac{R}{L}x_{2}(t)-\frac{1}{LC}x_{1}(t)+\frac{1}{LC}v_{i}(t)\tag{9}\\
\end{align}
$$

となる。また、

$$
\dot{x}_{1}(t) = \dot{v}_{o}(t) = x_{2}(t)\tag{10}
$$

となるので、次のような行列ができる。

$$
\frac{{\rm{d}}}{{\rm{d}}t}
\begin{bmatrix}
x_{1}(t) \\
x_{2}(t)
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
0&1 \\
-\frac{1}{LC}&-\frac{R}{L}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x_{1}(t) \\
x_{2}(t)
\end{bmatrix}
+
\begin{bmatrix}
0 \\
\frac{1}{LC}
\end{bmatrix}
v_{i}(t)\tag{11}
$$

このような表し方を状態空間表現という。
ここで、より一般的な形に変形する。
$${\bm{x}(t) = \begin{bmatrix}x_{1}(t)\\x_{2}(t) \end{bmatrix}}$$、$${A = \begin{bmatrix}0&1 \\-\frac{1}{LC}&-\frac{R}{L}\end{bmatrix}}$$、$${\bm{b} = \begin{bmatrix}0\\ \frac{1}{LC}\end{bmatrix}}$$、$${u(t) =v_{i}(t) }$$とおくと、

$$
\frac{{\rm{d}}\bm{x}}{{\rm{d}}t} =A\bm{x}(t)+\bm{b}u(t)\tag{12}
$$

となる。式(12)を状態方程式という。また、それぞれ、
$${\bm{x}(t)}$$：状態変数ベクトル、
$${A}$$：係数行列、
$${\bm{b}}$$：入力ベクトル、
$${u(t)}$$：入力
という。
また、出力$${v_{o}(t)}$$は、

$$
v_{o}(t) = x_{1}(t) \tag{13}
$$

なので、$${y(t)=v_{o}(t)}$$と状態変数ベクトルを用いて、

$$
y(t) = [1 \quad0]\begin{bmatrix}
x_{1}(t) \\
x_{2}(t)
\end{bmatrix}\tag{14}
$$

となる。$${\bm{c} = [1 \quad0]}$$とすれば、

$$
y(t) = \bm{c} \bm{x}(t)\tag{15} 
$$

となり。式(15)を出力方程式という。また、$${ \bm{c} }$$を出力ベクトルという。

2階微分方程式の状態空間表現

RLC回路は、2階の微分方程式で表されていた。ここでは、より一般化して2階微分方程式で表されるシステムの状態空間表現を求めていく。
入力を$${u(t)}$$、出力を$${y(t)}$$として、次の2階微分方程式を考える。

$$
\ddot{y}(t)+a_{1}\dot{y}(t)+a_{0}y(t)=b_{0}u(t)\tag{16}
$$

$${a_{0},a_{1},b_{0}}$$は、定数である。
状態変数として、$${x_{1}(t),x_{2}(t)}$$を用い、
$${y(t)=x_{1}(t), \dot{y}(t)=x_{2}(t)=\dot{x}_{1}}$$とすれば、式(16)は、

$$
\begin{align}
\dot{x}_{2} +a_{1}x_{2} + a_{0}x_{1}&=b_{0}u(t)\notag\\
\dot{x}_{2} &= -a_{1}x_{2} - a_{0}x_{1}+b_{0}u(t)\tag{17}\\
\end{align}
$$

となる。よって、状態空間表現は、

$$
\begin{align}
\frac{{\rm{d}}}{{\rm{d}}t}
\begin{bmatrix}
x_{1}(t) \\
x_{2}(t)
\end{bmatrix}
&=
\begin{bmatrix}
0&1 \\
-a_{0}&-a_{1}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x_{1}(t) \\
x_{2}(t)
\end{bmatrix}
+
\begin{bmatrix}
0\\
b_{0}
\end{bmatrix}
u(t)\tag{18}\\
y(t) &= \begin{bmatrix}
1   0
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
x_{1}(t) \\
x_{2}(t)
\end{bmatrix}\tag{19}
\end{align}
$$

となる。ベクトル表示すると、

$$
\begin{align}
\frac{{\rm{d}}\bm{x}(t)}{{\rm{d}}t} &= A\bm{x(t)} +
\bm{b} u(t)\tag{20}\\
y(t) &= \bm{c}\bm{x}(t)\tag{21}
\end{align}
$$

となる。
式(16)の両辺を初期値0でラプラス変換すると、

$$
(s^{2}+a_{1}s+a_{0})Y(s)=b_{0}U(s)\tag{22}
$$

となる。なお、$${Y(s)=\mathcal{L}[y(t)]}$$、$${U(s)=\mathcal{L}[u(t)]}$$としている。
式(22)から、伝達関数$${G(s)}$$は、

$$
G(s) = \frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{b_{0}}{s^{2}+a_{1}s+a_{0}}\tag{23}
$$

となり、式(18)と式(19)は、式(23)の伝達関数から得られる状態空間表現ということができる。

3階微分方程式の状態空間表現

2階の時と同様に3階微分方程式の場合を考える。
入力を$${u(t)}$$、出力を$${y(t)}$$として、次の3階微分方程式を考える。

$$
\frac{{\rm{d}}^{3}y(t)}{{\rm{d}}t^{3}}+a_{2}\frac{{\rm{d}}^{2}y(t)}{{\rm{d}}t^{2}}+a_{1}\frac{{\rm{d}}y(t)}{{\rm{d}}t}+a_{0}y(t)=b_{0}u(t)\tag{24}
$$

$${a_{0},a_{1},a_{2},b_{0}}$$は、定数である。
状態変数として、$${x_{1}(t),x_{2}(t),x_{3}(t)}$$を用いると、

$$
\begin{align}
y(t)&=x_{1}(t)\notag\\
\frac{{\rm{d}}y(t)}{{\rm{d}}t} &= \dot{x}_{1}(t) = x_{2}(t)\notag\\
\frac{{\rm{d}}^{2}y(t)}{{\rm{d}}t^{2}} &= \dot{x}_{2}(t) = x_{3}(t) \notag\\
\frac{{\rm{d}}^{3}y(t)}{{\rm{d}}t^{3}} &=  \dot{x}_{3}(t) \notag\\
\end{align}
$$

となるので、式(24)は、

$$
\begin{align}
\dot{x}_{3}(t)+a_{2}x_{3}(t)&+a_{1}x_{2}(t)+a_{0}x_{1}(t)=b_{0}u(t)\notag\\
\dot{x}_{3}(t) &= -a_{2}x_{3}(t)-a_{1}x_{2}(t)-a_{0}x_{1}(t)+b_{0}u(t) \tag{25}
\end{align}
$$

となる。よって、状態空間表現は、

$$
\begin{align}
\frac{{\rm{d}}}{{\rm{d}}t}
\begin{bmatrix}
x_{1}(t) \\
x_{2}(t) \\
x_{3}(t)
\end{bmatrix}
&=
\begin{bmatrix}
0&1 &0\\
0&0&1\\
-a_{0}&-a_{1}&-a_{2}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x_{1}(t) \\
x_{2}(t) \\
x_{3}(t)
\end{bmatrix}
+
\begin{bmatrix}
0\\
0\\
b_{0}
\end{bmatrix}
u(t)\tag{26}\\
y(t) &= \begin{bmatrix}
1   0  0
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
x_{1}(t) \\
x_{2}(t) \\
x_{3}(t)
\end{bmatrix}\tag{27}
\end{align}
$$

となる。
式(24)の両辺を初期値0でラプラス変換すると、

$$
(s^{3}+a_{2}s^{2}+a_{1}s+a_{0})Y(s)=b_{0}U(s)\tag{28}
$$

となる。なお、$${Y(s)=\mathcal{L}[y(t)]}$$、$${U(s)=\mathcal{L}[u(t)]}$$としている。
式(28)から、伝達関数$${G(s)}$$は、

$$
G(s) = \frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{b_{0}}{s^{3}+a_{2}s^{2}+a_{1}s+a_{0}}\tag{29}
$$

となり、式(26)と式(27)は、式(29)の伝達関数から得られる状態空間表現ということができる。

サイト

https://sites.google.com/view/elemagscience/%E3%83%9B%E3%83%BC%E3%83%A0