実効値 交流回路
直流回路
図1の直流回路で消費電力$${P}$$は、
$$
P = VI \tag{1}
$$
で求まる。
交流回路
図2の交流回路で同様に消費電力を求める。
電圧の瞬時値$${v}$$を$${v=V_{m}\sin(\omega t+\theta_{V})}$$、電流の瞬時値$${i}$$を$${i =I_{m}\sin(\omega t+\theta_{I})}$$とすれば、消費電力の瞬時値$${p}$$は、
$$
\begin{align}
p = vi &= V_{m}\sin(\omega t+\theta_{V})\times I_{m}\sin(\omega t+\theta_{I})\notag \\
&= V_{m}I_{m}\sin(\omega t+\theta_{V}) \sin(\omega t+\theta_{I}) \tag{2}\\
\end{align}
$$
となる。ここで、式(2)を変形していく。加法定理の
$$
\begin{align}
\cos(a+b) &= \cos(a) \cos(b)-\sin(a)\sin(b)\tag{3}\\
\cos(a-b)&=\cos(a) \cos(b)+\sin(a)\sin(b)\tag{4}\\
\end{align}
$$
を用いて、式(3)から式(4)を引くと、
$$
\begin{align}
\cos(a+b)-\cos(a-b) &= -2\sin(a)\sin(b) \notag\\
\sin(a)\sin(b) &= -\frac{1}{2}\left(\cos(a+b)-\cos(a-b)\right) \tag{5}
\end{align}
$$
となる。式(5)を用いて、式(2)は、
$$
\begin{align}
p &= V_{m}I_{m}\sin(\omega t+\theta_{V}) \sin(\omega t+\theta_{I}) \notag\\
&= V_{m}I_{m} \times -\frac{1}{2}\left(\cos(\omega t+\theta_{V}+\omega t+\theta_{I})-\cos(\omega t+\theta_{V}-\omega t-\theta_{I})\right) \notag\\
&= \frac{1}{2}V_{m}I_{m} \left(\cos(\theta_{V}-\theta_{I})-\cos(2\omega t+\theta_{V}+\theta_{I})\right)\notag\\
&=\frac{1}{2}V_{m}I_{m}\cos(\theta_{V}-\theta_{I}) - \frac{1}{2}V_{m}I_{m}\cos(2\omega t+\theta_{V}+\theta_{I}) \tag{6}
\end{align}
$$
となる。ここで、$${\omega t}$$を$${\theta}$$として、$${0}$$から$${2\pi}$$までの1周期で平均電力$${P}$$を求めると、
$$
\begin{align}
P &= \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} p \,{\rm{d}}\theta \notag\\
&= \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} \left[\frac{1}{2}V_{m}I_{m}\cos(\theta_{V}-\theta_{I}) - \frac{1}{2}V_{m}I_{m}\cos(2\theta+\theta_{V}+\theta_{I})\right] \,{\rm{d}}\theta \tag{7} \\
\end{align}
$$
であるが、式(7)の第2項は、
$$
\int_{0}^{2\pi} \cos(\theta) \,{\rm{d}}\theta = \left[\sin(\theta)\right]_
{0}^{2\pi} = \sin(2\pi) - \sin(0) = 0 \tag{8}
$$
となる。そのため、式(7)は第1項のみが残り、
$$
\begin{align}
P &= \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} \left[\frac{1}{2}V_{m}I_{m}\cos(\theta_{V}-\theta_{I}) - \frac{1}{2}V_{m}I_{m}\cos(2\theta+\theta_{V}+\theta_{I})\right] \,{\rm{d}}\theta \notag \\
&= \frac{1}{2\pi} \left[\frac{1}{2}V_{m}I_{m}\cos(\theta_{V}-\theta_{I}) \theta\right]_{0}^{2\pi} \notag\\
&= \frac{1}{2\pi}\frac{1}{2}V_{m}I_{m}\cos(\theta_{V}-\theta_{I}) 2\pi\notag\\
&= \frac{1}{2}V_{m}I_{m}\cos(\theta_{V}-\theta_{I})\tag{9}
\end{align}
$$
となる。式(9)において、図2の回路では抵抗のみなので、$${\theta_{V}=\theta_{I}}$$となり$${\cos(0)=1}$$である。これを、直流回路の消費電力である式(1)を比較すると、
$$
P = VI = \frac{1}{2}V_{m}I_{m} \tag{10}
$$
となる。ここで、式(10)は、
$$
\begin{align}
P = VI &= \frac{1}{2}V_{m}I_{m}\notag\\
&= \frac{V_{m}}{\sqrt{2}} \frac{I_{m}}{\sqrt{2}}\tag{11}
\end{align}
$$
と変形できる。式(11)の$${ \frac{V_{m}}{\sqrt{2}} }$$や$${ \frac{I_{m}}{\sqrt{2}}}$$を実効値と定義すれば、直流回路での電圧・電流を、交流回路では、実効値で考えることで、直流回路と等価になる。
そのため、交流回路では実効値を、
$$
\begin{align}
&\notag\\
実効値 &= \frac{最大値}{\sqrt{2}} \tag{12}\\
\end{align}
$$
と定義して、回路計算には実効値を用いている。
サイト
https://sites.google.com/view/elemagscience/%E3%83%9B%E3%83%BC%E3%83%A0
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