状態空間表現と伝達関数表現の関係　現代制御

伝達関数表現から状態空間表現への変換

システムは一般的に微分方程式で表される。関連記事の状態空間表現で考えたRLC回路では、$${LC\frac{{\rm{d}}^{2}v_{o}(t)}{{\rm{d}}t^{2}}+RC\frac{{\rm{d}}v_{o}(t)}{{\rm{d}}t}+v_{o}(t)= v_{i}(t)}$$のように2階の定数係数微分方程式で表すことができた。
ここでは、$${n}$$階の定数係数微分方程式で表される場合を考える。入力を$${u(t)}$$、出力を$${y(t)}$$とした時、次のようになる。

$$
\begin{align}
\frac{{\rm{d}}^{n}y(t)}{{\rm{d}}t^{n}}&+a_{n-1}\frac{{\rm{d}}^{n-1}y(t)}{{\rm{d}}t^{n-1}}+\cdots + a_{1}\frac{{\rm{d}}y(t)}{{\rm{d}}t}+ a_{0}y(t) \notag\\
&= b_{m}\frac{{\rm{d}}^{m}u(t)}{{\rm{d}}t^{m}}+b_{m-1}\frac{{\rm{d}}^{m-1}u(t)}{{\rm{d}}t^{m-1}}+\cdots +b_{1}\frac{{\rm{d}}u(t)}{{\rm{d}}t}+b_{0}u(t) \tag{1}
\end{align}
$$

ここで、$${n \geq m}$$、$${a_{0},a_{1},\cdots,a_{n-1},\,b_{0},b_{1},\cdots,b_{m}}$$はシステムのパラメータである。
式(1)の両辺を全て初期値$${0}$$でラプラス変換すると、

$$
\begin{align}
&\left(s^{n} + a_{n-1} s^{n-1}+ \cdots + a_{1}s+a_{0} \right)Y(s) \notag\\
&= \left(b_{m} s^{m}+b_{m-1} s^{m-1}+ \cdots + b_{1}s+b_{0} \right)U(s)\tag{2}
\end{align}
$$

となる。
$${Y(s)=\mathcal{L}[y(t)]}$$および、$${U(s)=\mathcal{L}[u(t)]}$$としている。
よって、このシステムの伝達関数$${G(s)}$$は、

$$
G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)} = \frac{\left(b_{m} s^{m}+b_{m-1} s^{m-1}+ \cdots + b_{1}s+b_{0} \right)}{\left(s^{n} + a_{n-1} s^{n-1}+ \cdots + a_{1}s+a_{0} \right)}\tag{3}
$$

となる。
式(3)において、$${n -m\geq 0}$$のときをプロパーな伝達関数、
$${n -m >  0}$$のときを厳密にプロパーな伝達関数という。
ここからは、式(3)の伝達関数を状態空間表現に変換する方法を見ていく。
変換過程を分かりやすくするために、$${n \geq m}$$条件を満たす、$${n = 3,m = 3}$$の場合を見ていく。
伝達関数$${G(s)}$$は、式(3)より、

$$
G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)} = \frac{\left(b_{3} s^{3}+b_{2} s^{2}+ b_{1}s+b_{0} \right)}{\left(s^{3} + a_{2} s^{2}+ a_{1}s+a_{0} \right)}\tag{4}
$$

となる。式(4)の分子を分母で割ると、

のようになるので、

$$
\begin{align}
&\notag\\
G(s) &= b_{3}+\frac{\beta_{2} s^{2}+ \beta_{1}s+\beta_{0}}{s^{3} + a_{2} s^{2}+ a_{1}s+a_{0}}\tag{5}
\end{align}
$$

となることがわかる。
ここで、$${\beta_{2} = b_{2}-a_{2}b_{3}}$$、$${\beta_{1} = b_{1}-a_{1}b_{3}}$$、$${\beta_{0} = b_{0}-a_{0}b_{3}}$$である。
式(5)の変形は、$${a }$$：割る数 、$${b }$$：割られる数 、$${c }$$： 商、$${d }$$：余りとすれば分かりやすい、筆算の結果から、

$$
b = a\times c + d\tag{6}
$$

となるが、式(6)の両辺を$${a}$$で割れば、

$$
\frac{b}{a} = c+\frac{d}{a}\tag{7}
$$

となり、式(5)のように表せることがわかる。
よって、システムの入力$${U(s)}$$と出力$${Y(s)}$$の関係は、

$$
\begin{align}
&\notag\\
G(s) &= b_{3}+\frac{\beta_{2} s^{2}+ \beta_{1}s+\beta_{0}}{s^{3} + a_{2} s^{2}+ a_{1}s+a_{0}}\notag\\
\frac{Y(s)}{U(s)}&= b_{3}+\frac{\beta_{2} s^{2}+ \beta_{1}s+\beta_{0}}{s^{3} + a_{2} s^{2}+ a_{1}s+a_{0}}\notag\\
Y(s)&= b_{3}U(s)+\frac{\beta_{2} s^{2}+ \beta_{1}s+\beta_{0}}{s^{3} + a_{2} s^{2}+ a_{1}s+a_{0}}U(s)\notag\\
&= Y_{1}(s)+Y_{2}(s)\tag{8}
\end{align}
$$

となり、$${b_{3}}$$と厳密にプロパーな伝達関数に分けることができる。
さらに$${Y_{2}(s)}$$は図1に示すように分割することができる。

図1 伝達関数の分割

ここで、$${U(s)}$$から$${X_{1}(s)}$$の伝達関数は、関連記事の状態空間表現の中で考えた3階微分方程式において、$${b_{0}=1}$$とした場合と同じである。
また、出力は$${y(t)=x_{1}(t)}$$としたため、図1の該当出力部を$${X_{1}(s)}$$としている。
状態空間表現は、

$$
\begin{align}
\frac{{\rm{d}}}{{\rm{d}}t}
\begin{bmatrix}
x_{1}(t) \\
x_{2}(t) \\
x_{3}(t)
\end{bmatrix}
&=
\begin{bmatrix}
0&1 &0\\
0&0&1\\
-a_{0}&-a_{1}&-a_{2}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x_{1}(t) \\
x_{2}(t) \\
x_{3}(t)
\end{bmatrix}
+
\begin{bmatrix}
0\\
0\\
1
\end{bmatrix}
u(t)\tag{9}\\
\end{align}
$$

となる。次に、$${X_{1}(s)}$$から、$${Y_{2}(s)}$$までを考える。
関係式は、

$$
Y_{2}(s) = \left(\beta_{2} s^{2}+ \beta_{1}s+\beta_{0}\right)X_{1}(s)\tag{10}
$$

である。式(10)の両辺を逆ラプラス変換すると、

$$
y_{2}(t) = \beta_{2} \frac{{\rm{d}}^{2}x_{1}(t)}{{\rm{d}}t^{2}}+ \beta_{1}\frac{{\rm{d}}x_{1}(t)}{{\rm{d}}t}+\beta_{0}x_{1}(t)\tag{11}
$$

となる。関連記事の状態空間表現の中で、

$$
\begin{align}
y(t)&=x_{1}(t)\notag\\
\frac{{\rm{d}}y(t)}{{\rm{d}}t} &= \dot{x}_{1}(t) = x_{2}(t)\notag\\
\frac{{\rm{d}}^{2}y(t)}{{\rm{d}}t^{2}} &= \dot{x}_{2}(t) = x_{3}(t) \notag\\
\frac{{\rm{d}}^{3}y(t)}{{\rm{d}}t^{3}} &=  \dot{x}_{3}(t) \notag\\
\end{align}
$$

としたので、それに合わせると式(11)は、

$$
y_{2}(t) = \beta_{2} x_{3}(t)+ \beta_{1}x_{2}(t)+\beta_{0}x_{1}(t)\tag{12}
$$

となる。よって、図1の出力方程式は、

$$
\begin{align}
y_{2}(t) &= \begin{bmatrix}
\beta_{0}  \beta_{1} \beta_{2}
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
x_{1}(t) \\
x_{2}(t) \\
x_{3}(t)
\end{bmatrix}\tag{13}
\end{align}
$$

となる。
また、$${Y_{1}(s)}$$も同様に逆ラプラス変換すると、

$$
y_{1}(t) = b_{3}u(t)\tag{14}
$$

となるので、式(8)の出力方程式は、

$$
\begin{align}
y(t) &= y_{1}(t)+y_{2}(t)\notag\\
&=\begin{bmatrix}
\beta_{0}  \beta_{1} \beta_{2}
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
x_{1}(t) \\
x_{2}(t) \\
x_{3}(t)
\end{bmatrix} +b_{3}u(t)\tag{15} \\
\end{align}
$$

となる。

まとめると、伝達関数

$$
\begin{align}
&\notag\\
G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)} = \frac{\left(b_{3} s^{3}+b_{2} s^{2}+ b_{1}s+b_{0} \right)}{\left(s^{3} + a_{2} s^{2}+ a_{1}s+a_{0} \right)}\tag{4 再掲}
\end{align}
$$

の状態空間表現は、
状態方程式

$$
\begin{align}
\frac{{\rm{d}}}{{\rm{d}}t}
\begin{bmatrix}
x_{1}(t) \\
x_{2}(t) \\
x_{3}(t)
\end{bmatrix}
&=
\begin{bmatrix}
0&1 &0\\
0&0&1\\
-a_{0}&-a_{1}&-a_{2}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x_{1}(t) \\
x_{2}(t) \\
x_{3}(t)
\end{bmatrix}
+
\begin{bmatrix}
0\\
0\\
1
\end{bmatrix}
u(t)\tag{9 再掲}\\
\end{align}
$$

出力方程式

$$
\begin{align}
y(t) &= y_{1}(t)+y_{2}(t)\notag\\
&=\begin{bmatrix}
\beta_{0}  \beta_{1} \beta_{2}
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
x_{1}(t) \\
x_{2}(t) \\
x_{3}(t)
\end{bmatrix} +b_{3}u(t)\tag{15 再掲} \\
\end{align}
$$

となる。ベクトルで表すと、
状態方程式

$$
\begin{align}
\frac{{\rm{d}}\bm{x}(t)}{{\rm{d}}t} &=A\bm{x}(t)+\bm{b}u(t)\tag{16}\\
\end{align}
$$

出力方程式

$$
\begin{align}
y(t) &=
\bm{c}\bm{x}(t)+du(t)\tag{17}\\
\end{align}
$$

となる。$${b_{3}}$$は、$${d}$$に置き換えている。
$${n}$$次元の場合も同様に、考えると、
状態方程式

$$
\begin{align}
&\frac{{\rm{d}}}{{\rm{d}}t}
\begin{bmatrix}
x_{1}(t) \\
x_{2}(t) \\
\vdots\\
x_{n-1}(t)\\
x_{n}(t)
\end{bmatrix}
\notag\\
&=
\begin{bmatrix}
0&1 &0&\cdots&0\\
0&0&1&\cdots&0\\
\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
0&0&0&\cdots&1\\
-a_{0}&-a_{1}&-a_{2}&\cdots&-a_{n-1}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x_{1}(t) \\
x_{2}(t) \\
\vdots\\
x_{n-1}(t)\\
x_{n}(t)
\end{bmatrix}
+
\begin{bmatrix}
0\\
0\\
\vdots\\
0\\
1
\end{bmatrix}
u(t)\tag{18}\\
\end{align}
$$

出力方程式

$$
\begin{align}
y(t) &= \begin{bmatrix}
\beta_{0}  \beta_{1} \cdots \,\beta_{n-2} \, \beta_{n-1}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x_{1}(t) \\
x_{2}(t) \\
\vdots\\
x_{n-1}(t)\\
x_{n}(t)
\end{bmatrix} +b_{n}u(t)\tag{19} \\
\end{align}
$$

となる。

状態空間表現から伝達関数表現への変換

システムのモデルが状態空間表現

$$
\begin{align}
\dot{\bm{x}}(t) &= A\bm{x}(t)+\bm{b}u(t)\tag{20}\\
y(t) &= \bm{c}\bm{x}(t)+du(t)\tag{21}
\end{align}
$$

で与えられている状況を考える。
状態ベクトル$${\bm{x}(t)}$$は、$${n\times 1}$$の列ベクトル、
係数行列$${A}$$は、$${n}$$次正方行列、
入力ベクトル$${\bm{b}}$$は、$${n\times 1}$$の列ベクトル、
出力ベクトル$${\bm{c}}$$は、$${1\times n}$$の行ベクトル、
入力$${u(t)}$$、出力$${y(t)}$$および$${d}$$は、スカラーとする。
式(20)の両辺をラプラス変換すると、

$$
\begin{align}
s\bm{X}(s)-\bm{x}(0) &= A\bm{X}(s)+\bm{b}U(s)\notag\\
s\bm{X}(s)- A\bm{X}(s) &= \bm{x}(0)+\bm{b}U(s)\tag{22}\\
\end{align}
$$

となる。$${\bm{X}(s)=\mathcal{L}[\bm{x}(t)]}$$、$${U(s)=\mathcal{L}[u(t)]}$$としている。また、ベクトルのラプラス変換は、各要素をラプラス変換する。
式(22)の左辺にある$${s}$$は、スカラーであるから、$${n}$$次単位行列$${I}$$をかけて、行列にする。また、$${\bm{X}(s)}$$は、どちらも右側から掛けているため、分配法則を使うことができる。よって、

$$
\begin{align}
sI\bm{X}(s)- A\bm{X}(s) &= \bm{x}(0)+\bm{b}U(s)\notag\\
\left(sI-A\right)\bm{X}(s)&= \bm{x}(0)+\bm{b}U(s)\tag{23}\\
\end{align}
$$

となる。ここで、初期ベクトル$${\bm{x}(0)}$$を$${\bm{x}(0)=0}$$とし、$${\left(sI-A\right)}$$が正則行列であるとすると、

$$
\begin{align}
\left(sI-A\right)\bm{X}(s)&= \bm{b}U(s)\notag\\
\bm{X}(s)&= \left(sI-A\right)^{-1}\bm{b}U(s)\tag{24}\\
\end{align}
$$

となる。
また、式(21)の両辺をラプラス変換すると、

$$
Y(s) = \bm{c}\bm{X}(s)+dU(s)\tag{25}
$$

となる。なお、$${\bm{Y}(s)=\mathcal{L}[y(t)]}$$としている。
式(25)に式(24)を代入すると、

$$
\begin{align}
Y(s) &= \bm{c}\bm{X}(s)+dU(s)\notag\\
&=  \bm{c}\left(sI-A\right)^{-1}\bm{b}U(s)+dU(s)\notag\\
&= \left(\bm{c}\left(sI-A\right)^{-1}\bm{b}+d\right)U(s)\tag{26}\\
\end{align}
$$

となる。よって、入力$${U(s)}$$から出力$${Y(s)}$$までの伝達関数$${G(s)}$$は、

$$
G(s) =\frac{Y(s)}{U(s)} = \bm{c}\left(sI-A\right)^{-1}\bm{b}+d\tag{27}
$$

となる。

関連記事

状態空間表現
https://note.com/elemag/n/n59e290ab8607?sub_rt=share_pw

サイト

https://sites.google.com/view/elemagscience/%E3%83%9B%E3%83%BC%E3%83%A0