平成21年度 理論科目 問10 電験3種過去問
問題
考え方
この問題は、制御に関する問題である。図1において、伝達関数を求め、図2をステップ応答として、加えた時の出力を求めれば良い。
解答例
図1より、入力は$${v_{i}(t)}$$、出力は$${v_{R}(t)}$$である。コイルの電圧を$${v_{L}(t)}$$とすると、
$$
\begin{align}
v_{i}(t) &= v_{R}(t)+v_{L}(t)\tag{1}\\
\end{align}
$$
となる。回路に流れる電流を$${i(t)}$$とすれば、
$$
\begin{align}
v_{R}(t) &= Ri(t)\tag{2}\\
v_{i}(t) &= v_{R}(t)+v_{L}(t)\notag\\
&= Ri(t)+L\frac{{\rm{d}}i(t)}{{\rm{d}}t}\tag{3}\\
\end{align}
$$
となる。式(2)および式(3)をラプラス変換する。$${\mathcal{L}[i(t)]=I(s)}$$、$${\mathcal{L}[v_{i}(t)]=V_{i}(s)}$$、$${\mathcal{L}[v_{R}(t)]=V_{R}(s)}$$とする。また、問題文よりコイルに流れる初期電流は$${0\,{[\rm{A}]}}$$なので、$${i(0)=0}$$となることを考慮すると、
$$
\begin{align}
V_{R}(s) &= RI(s)\tag{4}\\
V_{i}(s) &= RI(s)+LsI(s)\tag{5}\\
\end{align}
$$
となる。よって、入力$${V_{i}(s)}$$から出力$${V_{R}(s)}$$までの伝達関数$${G(s)}$$は、
$$
\begin{align}
G(s) &= \frac{V_{R}(s)}{V_{i}(s)}\notag\\
&=\frac{RI(s)}{RI(s)+LsI(s)}\notag\\
&= \frac{1}{\frac{L}{R}s+1}\notag\\
&= \frac{\frac{R}{L}}{s+\frac{R}{L}} \tag{6}
\end{align}
$$
となる。式(6)でステップ応答を求めると、
$$
\begin{align}
V_{R}(s) &= \frac{\frac{R}{L}}{s+\frac{R}{L}}\times V_{i}(s)\notag\\
&= \frac{\frac{R}{L}}{s+\frac{R}{L}}\times \frac{1}{s}\notag\\
&=\frac{\frac{R}{L}}{s\left(s+\frac{R}{L}\right)}\tag{7}\\
\end{align}
$$
となる。式(7)を部分分数分解する。
$$
\begin{align}
\frac{\frac{R}{L}}{s\left(s+\frac{R}{L}\right)}&= \frac{A}{s}+\frac{B}{s+\frac{R}{L}}\tag{8}\\
\end{align}
$$
式(8)の両辺に$${s\left(s+\frac{R}{L}\right)}$$を掛けると、
$$
\frac{R}{L} = A\left(s+\frac{R}{L}\right)+Bs\tag{9}
$$
式(9)において、$${s=0}$$、$${s=-\frac{R}{L}}$$を代入すると、
$${s=0}$$
$$
\begin{align}
\frac{R}{L} &= A\left(0+\frac{R}{L}\right)+B\times 0\notag\\
A\left(\frac{R}{L}\right) &= \frac{R}{L} \notag\\
A &= 1\tag{10}
\end{align}
$$
$${s=-\frac{R}{L}}$$
$$
\begin{align}
\frac{R}{L} &= A\left(-\frac{R}{L}+\frac{R}{L}\right)+B\times \left(-\frac{R}{L}\right)\notag\\
\left(-\frac{R}{L}\right)B &= \frac{R}{L}\notag\\
B &= -1\tag{11}
\end{align}
$$
となる。よって、式(8)は、
$$
\begin{align}
\frac{\frac{R}{L}}{s\left(s+\frac{R}{L}\right)} &= \frac{1}{s}-\frac{1}{\left(s+\frac{R}{L}\right)}\tag{12}\\
\end{align}
$$
となる。式(12)の結果から、式(7)を逆ラプラス変換すると、
$$
\begin{align}
\mathcal{L}^{-1}[V_{R}(s)] &=\mathcal{L}^{-1}\left[\frac{1}{s}-\frac{1}{\left(s+\frac{R}{L}\right)}\right]\notag\\
v_{R}(t) &= 1-e^{-\frac{R}{L}t}\tag{13}
\end{align}
$$
と求まる。問題文より時定数が$${T_{0}\,[{\rm{s}}]}$$より十分小さいので、式(13)を図示すると、図1のようになる。
$${T_{0}\,[{\rm{s}}]}$$以降は、入力が$${0\,{\rm{V}}}$$となるため、出力も$${0\,{\rm{V}}}$$になっていく。
よって、答えは、(5)となる。
(2)や(3)は、時定数が$${T_{0}\,[{\rm{s}}]}$$より長い場合の波形である。
サイト
https://sites.google.com/view/elemagscience/%E3%83%9B%E3%83%BC%E3%83%A0
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