キルヒホッフの法則
キルヒホッフの法則
キルヒホッフの法則は、電気回路の解析手法の1つである。法則は、電流則と電圧則の2つから成り立っている。キルヒホッフの法則は、どんな複雑な回路であっても適用することができる。また、直流のみならず交流回路においても使用できる。
今回は直流回路を用いてキルヒホッフの法則を見ていくが、交流の場合は、ベクトルで考えれば良い。
第1法則 (電流則)
回路上の任意の1点に流れ込む電流の総和は0となる。
これを式で表すと、
$$
\begin{align}
\sum_{i=1}^n I_{i} = 0\notag
\end{align}
$$
となる。
ここで、この式においては、流れ込む電流を正とする。また、流れ出る電流は負として扱う。
図1の例を考えてみる。
任意の1点としてa点を考える。
a点に流れ込む電流は$${I_{1}}$$、$${I_{2}}$$、$${I_{3}}$$の3つがある。$${I_{4}}$$は、a点から流れ出ているが、マイナスをつけることで流れの向きを入れ替えれるので、$${-I_{4}}$$とすれば、流れ込む電流となる。
よって、電流則から、
$$
I_{1}+I_{2}+I_{3}-I_{4}=0
$$
が成り立つ。
電流則を別の表現で表すと、
$$
流れ込む電流 = 流れ出る電流
$$
と表すことができ、図1の場合は、
$$
I_{1}+I_{2}+I_{3}=I_{4}
$$
となる。
この考え方では、マイナスを気にする必要がない上に、流れ出ているものと流れ込むものをそれぞれ考えれば良いので、直感的に理解しやすい。
第2法則 (電圧則)
回路の任意の閉回路について、一方向に沿って1周したときの電圧変化の総和は0となる。
電圧変化を$${\delta V}$$とすると、
$$
\begin{align}
\sum_{i=1}^n \delta V_{i} = 0\notag
\end{align}
$$
となる。
ここで、1周する方向と同じ方向に電圧変化がある場合は正、逆方向に電圧変化がある場合は負として扱う。
図2の例を考える。
まず図2において、1周する方向を決める必要がある。今回は図3のように1周する。
電圧変化を考えていく。
図3で各部で発生する電圧の方向は、図4に緑色の矢印で示すようになる。
図4で抵抗での電圧降下は、図5に示すように電流の向きと逆向きに発生する。
図4をもとに電圧則を考えていく。1周する方向と同じ方向に電圧変化がある場合は正、逆方向に電圧変化がある場合は負として扱うので、点aからスタートすると、
$${E_{1}}$$は、水色の矢印と緑色の矢印が同じ方向なので、正となる。
抵抗$${R_{1}}$$で発生する電圧は、水色の矢印と緑色の矢印が逆方向なので、負となる。同様にして1周を考えると、
$$
E_{1}-R_{1}I_{1}-R_{2}I_{2}-E_{2}+R_{4}I_{4}+E_{3}-R_{3}I_{3} = 0
$$
と求めることができる。
この式を変形すると、
$$
E_{1}-E_{2}+E_{3}= R_{1}I_{1}+R_{2}I_{2}-R_{4}I_{4}+R_{3}I_{3}
$$
とすることができる。
これは、
$$
起電力の和 = 電圧降下の和
$$
で考えているのと同じである。
この考え方の良いところは、電圧降下を考える際に、電流の流れる向きと1周する方向が同じなら正、逆なら負として扱うことができ、電圧の発生方向を考えることなく電流の流れる方向だけで正負を考えれる。
サイト
https://sites.google.com/view/elemagscience/%E3%83%9B%E3%83%BC%E3%83%A0
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